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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3884
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 10:00: | 
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Hi allerseits
Für den Aufgabenkomplex
„Reihensumme gesucht“ soll die Methode
der Differenzenbildung an einem weiteren
Beispiel geübt werden.
Die Aufgabe LF 324 (R2) lautet
Für die Reihe mit n Summanden
S = 1*4*7 + 4*7*10 + 7*10*13 +………
ermittle man eine geschlossene Summenformel
Gesucht: S als Funktion von n.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1284
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 10:45: |
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Hi megamath,
ich hab bis jetzt erstmal herausgefunden:
a(k) = (3k-2)*(3k+1)*(3k+4)
Für die Summe müsste ein Polynom 4ten Grades in Frage kommen.
Vielleicht macht jetzt einer weiter. Ich werde jetzt erstmal zum Fussball gehen, es ist so schönes Wetter!
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 828
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 10:59: |
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Megamath:
Variante:
a(k) = 27k3 + 27k2-18k-8
Mit bekannten Summenformeln ergibt sich direkt
S(n) =
(27/4)n2(n+1)2+(9/2)n(n+1)(2n+1)
-9n(n+1)-8n
=n(27n3+90n2+45n-50)/4
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3885
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 12:05: |
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Hi allerseits
Es folgt die Herleitung der Summenformel
mit Hilfe der Differenzenmethode:
Das allgemeine Glied der Summe lautet:
a(k) :=(3k-2)(3k+1)(3k+4)
wir bilden das „überschüssige“ Glied
b(k) :=(3k-2)(3k+1)(3k+4)(3k+7)
Wir berechnen die Differenz
b(k) - b(k-1) = 12 a(k)
Bildet man die Summe aller dieser Differenzen
für k = 1 bis k = n, so kommt
b(n) – b(0) = 12 * S(n),
also
S(n) = 1/12 * [b(n) – b(0)]
= 1/12 * [(3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)+56] =
27/4 *n^4 +45/2 *n^3 + 45/4 *n^2 - 25/2 * n
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3886
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 12:07: |
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Hi Orion
Danke für Deinen Beitrag.
In diesem einfachen Fall ist die Lösung mit den
Summenformeln angebracht und führt auch
rasch zum Ziel.
Zum Glück stimmen unsere Resultate überein!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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