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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3887 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 16:33: |
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Hi allerseits Es folgt eine weitere Aufgabe zum Thema „Reihensumme gesucht“. Die Aufgabe LF 325(R3) lautet: Für die Reihe mit n Summanden S = 3/(2*3*4*5) +5(3*4*5*6) +7/(4*5*6*7) + …………….. bestimme man eine geschlossene Summenformel Gesucht wird S als Funktion von n: S = S(n). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3888 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 16:36: |
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Hi allerseits Es folgt eine weitere Aufgabe zum Thema „Reihensumme gesucht“ mit Korrektur Die Aufgabe LF 325(R3) lautet: Für die Reihe mit n Summanden S = 3/(2*3*4*5) +5/(3*4*5*6) +7/(4*5*6*7) + …………….. bestimme man eine geschlossene Summenformel Gesucht wird S als Funktion von n: S = S(n). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1286 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 22:45: |
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Hi megamath, das allgemeine Glied der Reihe müsste lauten: a(k) = (2k+1)/[(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)] Ich finde nun aber kein geeignetes b(k)! Der Nenner macht mir da am meisten Kopfzerbrechen! Kannst du einen kleinen Hinweis geben? mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 830 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 08:02: |
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Hallo Ferdi: Als Hinweis hier nur 2 Stichworte : 1. Partialbruchzerlegung 2. Teleskopsummen. mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 831 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 08:27: |
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Zu 1.: Prüfe nach, dass a(k) = (1/6)[1/(k+2)-1/(k+1)] -(4/3)[1/(k+3)-1/(k+2)] +(7/6)[1/(k+4)-1/(k+3)] mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1287 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 08:45: |
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Hi Orion, daran hatte ich auch schon gedacht. Ich dachte nur diese Aufgabe könnte auch mit der Differenzenmethode gelöst werden. Naja werde mich Gleich mal ransetzen! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3890 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 09:09: |
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Hi Ferdi Ich gebe sogar einen mittel großen Hinweis: will man mit der Differenzenmethode arbeiten, so setzt man die unbestimmten Koeffizienten A und B so an, dass für b(k) = (A k + B) / (k+1)(k+2)(k+3) die Differenz b(k) – b(k+1) für jedes k mit a(k) übereinstimmt. Das sollte funktionieren. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3891 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 09:12: |
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Hi allerseits Man kann die Aufgabe auch dadurch lösen, dass man a(k) = (2k+1)/[(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)] in Teilbrüche zerlegt. Das geht so: Wir schreiben a(k) = [2(k+1) – 1] / [(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)] = c(k) – d(k),wobei c(k) = 2 / [(k+2)*(k+3)*(k+4)] d(k) = 1 / [(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)] Wir zerlegen weiter (divide et impera!): c(k) = 1/{(k+2)*(k+3)} – 1/{(k+3)(k+4)} d(k) = 1/3 * 1 /{(k+1)(k+2)k+3) – 1/{k+2)(k+3)(k+4)} Wir bilden die Summen der c(k) und d(k) und erhalten mit dem Differenzenverfahren im Kleinen sofort der Reihe nach: sum [c(k)] = 1/{3*4} – 1 /{(n+3)(n+4)} sum [d(k)] = 1/3 *[ 1/{2*3*4} – 1 /{(n+2)(n+3)(n+4)} Das gibt summa summarum: sum [a(k)] =1/12 - 1/72 + 1/3*[(1-3n –6)/{(n+2)(n+3)(n+4)}] vereinfacht: sum [a(k)] =5/72 - 1/3*[(3n + 5)/{(n+2)(n+3)(n+4)}] °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1288 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 11:37: |
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Hi megamath, besten Dank für deinen Hinweis. Ich erhalte: A = 1 ; B = 2/3 summiert man dann von 1 bis n b(1) - b(n+1) = S(n) 5/72 - (n + (5/3))/[(n+2)(n+3)(n+4)] S(n) = 5/72 - (1/3)*{(3n + 5)/[(n+2)(n+3)(n+4)]} Wie es sein muss! mfg (Beitrag nachträglich am 19., April. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3892 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 12:02: |
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Hi Ferdi Der Hinweis hat geholfen und zum richtigen Resultat geführt. Besten Dank! MfG H.R.Moser,megamath |