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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3878 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 17:04: |
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Hi allerseits angeregt durch die Fragestellung von ZAPH „Reihensumme gesucht“ erscheinen in der Serie „Lockere Folgen“ zwischendurch Aufgaben zu endlichen Reihen. Erwünscht sind spontane Lösungen, aber auch solche, hinter denen ein System steckt. Die Aufgaben werden fortlaufend mit Rj (j =1,2 ….) bezeichnet. Aufgabe LF 323 (R1) lautet. Für die Reihe mit n Summanden S = 1*3*5*7 + 3*5*7*9 + 5*7*9*11 +……… ermittle man eine geschlossene Summenformel Gesucht: S als Funktion von n. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 827 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 19:53: |
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Hallo, Hinweis:Da der k-te Summand a(k) :=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5) ein Polynom 4-Grades in k ist, so muss S(n) := Sn k=1 a(k), S(0) := 0 (leere Summe) ein Polynom 5.Grades in n mit Absolutglied Null ergeben. Das kann man/frau ausrechnen und einen Induktionsschluss nachschieben. mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3880 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 20:52: |
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Hi Orion Das ist alles richtig! Ich habe es durchgespielt. Später zeige ich eine Lösung mittels Differenzenrechnung! MfG H.R.Moser,megaamth |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3881 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 21:26: |
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Hi allerseits Zu Vergleichszwecken gebe ich zwei Formen des gesuchten Polynoms fünften Grades in n : S(n) =1/10*[(2n-1) (2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7) + 1*3*5*7] ohne Klammern: S(n) = 16/5 n^5 + 24 n^4 + 56 n^3 + 36 n^2 – 71/5 n Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3882 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 22:00: |
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Hi allerseits Es folgt die Herleitung der Summenformel mit Hilfe der so genannten Differenzenmethode ohne Brimborium: Das allgemeine Glied der Summe lautet: a(k) :=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5) wir bilden das „überschüssige“ Glied b(k) :=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7) Wir berechnen die Differenz b(k) - b(k-1) = 10 a(k), wie man leicht nachrechnet ! Bildet man die Summe aller dieser Differenzen für k = 1 bis k = n, so kommt auf der linken Seite: b(n) – b(0) auf der rechten Seite 10 * S(n), also S(n) = 1/10 * [b(n) – b(0)] Achte besonders auf b(0)! Dies führt sofort auf das in meinem letzten Beitrag angegebene Resultat. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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