Autor |
Beitrag |
   
Kai

Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 22:04: |
|
Hallo! Ich habe folgendes zu zeigen: Sei x eine reelle Zahl. Es gilt: (1+ix)/(1-ix)=e^2ia , wobei a=arctan(x). Ich finde leider keinen Ansatz. Wenn ich die linke Seite ausrechne, kommt (1-x^2)/(1+x^2)+i(2x/1+x^2) raus, auf der echten kann ich mit der Eulerschen Formel arbeiten: e^2ia=cos(2a)+isin(2a), aber jetzt habe ich keine Idee, wie weiter. Kann mir jemand helfen? |
   
Mainziman (Mainziman)

Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1078 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 22:31: |
|
es gilt e^(j phi) = cos(phi) + j sin(phi) weiters gilt der pyth. der trig.: sin^2(phi)+cos^2(phi) = 1 e^(j phi) = sqrt(1-sin^2(phi)) + j sin(phi) e^(j phi) = sqrt(1-sin^2(phi)) + j sin(phi) e^(j phi) - j sin(phi) = sqrt(1-sin^2(phi)) e^(2j phi) - sin^2(phi) - 2j e^(j phi)sin(phi) = 1 - sin^2(phi) e^(2j phi) - 2j e^(j phi)sin(phi) = 1 - 2j e^(j phi)sin(phi) = 1 - e^(2j phi) 2j e^(j phi)sin(phi) = e^(2j phi) - 1 2j sin(phi) = e^(j phi) - e^(-j phi) sin(phi) = ( e^(j phi) - e^(-j phi) ) / ( 2j ) analog für cos(phi): cos(phi) = ( e^(j phi) + e^(-j phi) ) / 2 damit gilt für tan(phi): tan(phi) = ( e^(j phi) - e^(-j phi) ) / ( j ( e^(j phi) + e^(-j phi) ) ) davon einfach die Umkehrung bestimmen ... Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
|
   
Kai

Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 22:44: |
|
Super, bis dahin alles klar, aber wie einfach die Umkehrung bestimmen? |
   
Kai

Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 23:01: |
|
Oh, alles klar, ist einfach schon ein bisschen spät zum denken , ich hab´s jetzt raus. Vielen Dank für die Hilfe. |
   
Mainziman (Mainziman)

Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1079 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 23:03: |
|
tan(phi) = ( e^(j phi) - e^(-j phi) ) / ( j ( e^(j phi) + e^(-j phi) ) ) ich substituier mal t := e^(j phi) tan(phi) = (t - 1/t) / (j (t + 1/t)) (j (t + 1/t)) tan(phi) = t - 1/t j t tan(phi) + j/t tan(phi) = t - 1/t j t^2 tan(phi) + j tan(phi) = t^2 - 1 j t^2 tan(phi) - t^2 = - 1 - j tan(phi) t^2 ( j tan(phi) - 1 ) = - 1 - j tan(phi) t^2 ( 1 - j tan(phi) ) = 1 + j tan(phi) t^2 = ( 1 + j tan(phi) ) / ( 1 - j tan(phi) ) ( e^(j phi) )^2 = ( 1 + j tan(phi) ) / ( 1 - j tan(phi) ) e^(2j phi) = ( 1 + j tan(phi) ) / ( 1 - j tan(phi) ) tan und arctan sind zu sich selbst jeweils invers, setze statt phi, einfach arctan(x) ein e^(2j arctan(x)) = ( 1 + j x ) / ( 1 - j x ) arctan(x) = ln[ ( 1 + j x ) / ( 1 - j x ) ] / ( 2j ) bei x = +/- 1/j = -/+ j ist der arctan nicht definiert Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
|
   
Friedrichlaher (Friedrichlaher)

Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2577 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2005 - 10:11: |
|
Hallo Kai, servus Walter; die Aufgabe ist eigentlich ein 10 Sekundenproblem und geister offensichtlich durch alle Foren ich darf doch die Rechenregeln für komplexe Zahlen, insbesondere in der (Betrag,Winkel) Form, die der Exponentialform entspricht, voraussetzen? Zähler und Nenner haben gleiche Beträge, der Nennerwinkel ist der negative Zählerwinkel, und die Rechenregel lautet Quotientbetrag = Quotient der Beträge Quotientwinkel = Zählerwinkel - Nennerwinkel Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
|