Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Beweis zur Exponetialfunktion im Komp...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Komplexe Zahlen » Beweis zur Exponetialfunktion im Komplexen « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Kai
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 22:04:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich habe folgendes zu zeigen:
Sei x eine reelle Zahl. Es gilt:

(1+ix)/(1-ix)=e^2ia ,
wobei a=arctan(x).
Ich finde leider keinen Ansatz. Wenn ich die linke Seite ausrechne, kommt (1-x^2)/(1+x^2)+i(2x/1+x^2) raus, auf der echten kann ich mit der Eulerschen Formel arbeiten: e^2ia=cos(2a)+isin(2a), aber jetzt habe ich keine Idee, wie weiter.
Kann mir jemand helfen?
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mainziman (Mainziman)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1078
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 22:31:   Beitrag drucken

es gilt


e^(j phi) = cos(phi) + j sin(phi)
weiters gilt der pyth. der trig.: sin^2(phi)+cos^2(phi) = 1

e^(j phi) = sqrt(1-sin^2(phi)) + j sin(phi)
e^(j phi) = sqrt(1-sin^2(phi)) + j sin(phi)
e^(j phi) - j sin(phi) = sqrt(1-sin^2(phi))
e^(2j phi) - sin^2(phi) - 2j e^(j phi)sin(phi) = 1 - sin^2(phi)
e^(2j phi) - 2j e^(j phi)sin(phi) = 1
- 2j e^(j phi)sin(phi) = 1 - e^(2j phi)
2j e^(j phi)sin(phi) = e^(2j phi) - 1
2j sin(phi) = e^(j phi) - e^(-j phi)
sin(phi) = ( e^(j phi) - e^(-j phi) ) / ( 2j )
analog für cos(phi):
cos(phi) = ( e^(j phi) + e^(-j phi) ) / 2

damit gilt für tan(phi):
tan(phi) = ( e^(j phi) - e^(-j phi) ) / ( j ( e^(j phi) + e^(-j phi) ) )

davon einfach die Umkehrung bestimmen ...
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Kai
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 22:44:   Beitrag drucken

Super, bis dahin alles klar, aber wie einfach die Umkehrung bestimmen?
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Kai
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 23:01:   Beitrag drucken

Oh, alles klar, ist einfach schon ein bisschen spät zum denken , ich hab´s jetzt raus. Vielen Dank für die Hilfe.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mainziman (Mainziman)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1079
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2005 - 23:03:   Beitrag drucken

tan(phi) = ( e^(j phi) - e^(-j phi) ) / ( j ( e^(j phi) + e^(-j phi) ) )

ich substituier mal t := e^(j phi)

tan(phi) = (t - 1/t) / (j (t + 1/t))
(j (t + 1/t)) tan(phi) = t - 1/t
j t tan(phi) + j/t tan(phi) = t - 1/t
j t^2 tan(phi) + j tan(phi) = t^2 - 1
j t^2 tan(phi) - t^2 = - 1 - j tan(phi)
t^2 ( j tan(phi) - 1 ) = - 1 - j tan(phi)
t^2 ( 1 - j tan(phi) ) = 1 + j tan(phi)
t^2 = ( 1 + j tan(phi) ) / ( 1 - j tan(phi) )
( e^(j phi) )^2 = ( 1 + j tan(phi) ) / ( 1 - j tan(phi) )
e^(2j phi) = ( 1 + j tan(phi) ) / ( 1 - j tan(phi) )

tan und arctan sind zu sich selbst jeweils invers,
setze statt phi, einfach arctan(x) ein

e^(2j arctan(x)) = ( 1 + j x ) / ( 1 - j x )

arctan(x) = ln[ ( 1 + j x ) / ( 1 - j x ) ] / ( 2j )

bei x = +/- 1/j = -/+ j ist der arctan nicht definiert
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2577
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2005 - 10:11:   Beitrag drucken

Hallo Kai, servus Walter;

die Aufgabe ist eigentlich ein 10 Sekundenproblem
und geister offensichtlich durch alle Foren

ich darf doch die Rechenregeln für komplexe Zahlen,
insbesondere in der (Betrag,Winkel) Form,
die
der Exponentialform entspricht,
voraussetzen?

Zähler und Nenner haben gleiche Beträge,
der Nennerwinkel ist der negative Zählerwinkel,

und die Rechenregel lautet

Quotientbetrag = Quotient der Beträge
Quotientwinkel = Zählerwinkel - Nennerwinkel
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page