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Zyron (Zyron)
Junior Mitglied Benutzername: Zyron
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 10-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 17:52: |
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Hoi, brauch ma wieder eure Hilfe: Aufgabe: mit vollständiger Induktion gültigkeit der Gleichung beweisen: f.a. n>=1 : fib(n)=[((1+wurzel(5))^n)-((1-wurzel(5))^n)]/[(2^n)*wurzel(5)] ich habe als I.A. fib(1) und fib(2) geziegt, was beides 1 ist. wodurch ich als I.V. fib(n) und fib(n+1) habe, ich komme auch soweit, dass ich die I.V. anwenden kann, nur krieg ich dann die Umformung nicht zustande, sodass rechts das steht, was da stehen soll. wär klasse, wenn ihr mir wieder mal helfen könntet mfg Dennis |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 247 Registriert: 10-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 18:11: |
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Hallo Dennis, für den Induktionsschritt musst du zeigen, dass fib(n+2) = fib(n) + fib(n+1) ist. Zur Vereinfachung: / heißt, alles links davon ist zähler, alles rechts davon nenner bis eine klammer kommt - ich klammere also brüche nicht! Ich fange bei der linken Seite an: fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n) = (1+wurzel(5) / 2)^(n+2) - (1 - wurzel(5)/2)^(n+1) / wurzel(5) + 1+wurzel(5)/2)^n - (1+wurzel(5)/2)^n / wurzel(5) = (1+wurzel(5)/2)^n * (1+wurzel(5)+2/2)*(1/wurzel(5)) - (1-wurzel(5)/2)^n*(1-wurzel(5)+2/2)*(1/wurzel(5)) Ich beginne von der rechten Seite: fib(n+2) = (1+wurzel(5)/2)^(n+2) - (1-wurzel(5)/2)^(n+2) / wurzel(5) = (1+wurzel(5) /2)^(n+2)/wurzel(5) - (1-wurzel(5) /2)^(n+2) /wurzel(5) ich schreibe den expoenten um: = (3+wurzel(5)/2)*(1+wurzel(5)/2)^n*(1/wurzel(5)) - ((3/2) - (wurzel(5)/2))*(1-wurzel(5)/2)^n*(1/wurzel(5)) = (1+wurzel(5)+2/2)*(1+wurzel(5)/2)^n*(1/wurzel(5)) - (1-wurzel(5)/2)*(1-wurzel(5)+2/2)*(1/wurzel(5)) Wie man sieht, ist das dasselbe. Damit ist auch der Induktionsschritt gezeigt. Ich hoffe du kommt mit der Schreibweise zurecht, ist sehr viel rumrechnerei!! Tamara |
Sarah
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 27. November, 2004 - 20:56: |
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Hallo, bräuchte mal eure Hilfe bei einer Aufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir da helfen. Sei F(n) (n ist Element der nat.Zahlen) die Folge der Fibonacci-Zahlen: F(0) = F(1) = 1 und F(n+2) = F(n) + F(n+1) für n>=0. Zeigen Sie, dass die Folge [(F(n+1))/(F(n))] gegen [((wurzel 5)+1)/(2)] konvergiert. Ich hoffe ihr könnt meine Schreibweise lesen, kann leider keinen Text tief stellen. Ich habe dann um das was tiefgestellt ist ne Klammer gemacht. F(n+1) heißt dann also, dass n+1 tiefgestellt ist. Das sieht dann bei den beiden Brüchen etwas abenteuerlich aus, weil ich da auch Zähler und Nenner geklammert habe, aber ich denke man kann es erkennen. Ich hoffe ihr könnt mir da helfen. MfG Sarah |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1010 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 27. November, 2004 - 23:46: |
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(F(n+1))/(F(n)) = (F(n)+F(n-1))/F(n) = 1+F(n-1)/F(n) da n gegen unendlich geht: (F(n+1))/(F(n)) = F(n)/F(n-1) = t daher t = 1 + 1/t t^2 = t + 1 t^2 - t - 1 = 0 1/2 +/- sqrt( 1/4 + 1 ) 1/2 +/- sqrt( 5 ) / 2 die negative Lsg. können wir streichen, übrig bleibt die positive Lsg. 1/2 + sqrt(5)/2 Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Sarah
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 14:28: |
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Zwei Sachen davon versteh ich net deswegen noch mal ne kurze zwischen Frage: wieso ergibt bei ne quadrierung von t das ganze nur t+1?und da n ja gegen unendlich geht ergibt bei dir (F(n+1))=F(n)/F(n-1) aber wieso? Schon ma danke für den rest! |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1012 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 15:13: |
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t = 1 + 1/t <-- da hab ich mit t erweitert t^2 = t + 1 deine 2te Frage versteh ich nicht; Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Sarah
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 15:28: |
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du hast geschrieben da n gegen unendlich geht: (F(n+1))/(F(n))=F(n)/F(n-1)=t aber wiso gilt F(n)/F(n-1)? |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1014 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 18:14: |
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das beruht darauf, daß der Quotient für n->inf konvergiert; Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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