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Fibonacci-Zahlen (Beweis)

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Zyron (Zyron)
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Junior Mitglied
Benutzername: Zyron

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 17:52:   Beitrag drucken

Hoi, brauch ma wieder eure Hilfe:
Aufgabe: mit vollständiger Induktion gültigkeit der Gleichung beweisen:

f.a. n>=1 :
fib(n)=[((1+wurzel(5))^n)-((1-wurzel(5))^n)]/[(2^n)*wurzel(5)]

ich habe als I.A. fib(1) und fib(2) geziegt, was beides 1 ist. wodurch ich als I.V. fib(n) und fib(n+1) habe, ich komme auch soweit, dass ich die I.V. anwenden kann, nur krieg ich dann die Umformung nicht zustande, sodass rechts das steht, was da stehen soll.

wär klasse, wenn ihr mir wieder mal helfen könntet

mfg Dennis
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Spezi (Spezi)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi

Nummer des Beitrags: 247
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 18:11:   Beitrag drucken

Hallo Dennis,

für den Induktionsschritt musst du zeigen, dass fib(n+2) = fib(n) + fib(n+1) ist.

Zur Vereinfachung: / heißt, alles links davon ist zähler, alles rechts davon nenner bis eine klammer kommt - ich klammere also brüche nicht!

Ich fange bei der linken Seite an:
fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n)
= (1+wurzel(5) / 2)^(n+2) - (1 - wurzel(5)/2)^(n+1) / wurzel(5) +
1+wurzel(5)/2)^n - (1+wurzel(5)/2)^n / wurzel(5)
= (1+wurzel(5)/2)^n * (1+wurzel(5)+2/2)*(1/wurzel(5)) - (1-wurzel(5)/2)^n*(1-wurzel(5)+2/2)*(1/wurzel(5))

Ich beginne von der rechten Seite:
fib(n+2) = (1+wurzel(5)/2)^(n+2) - (1-wurzel(5)/2)^(n+2) / wurzel(5)
= (1+wurzel(5) /2)^(n+2)/wurzel(5) - (1-wurzel(5) /2)^(n+2) /wurzel(5)

ich schreibe den expoenten um:

= (3+wurzel(5)/2)*(1+wurzel(5)/2)^n*(1/wurzel(5)) - ((3/2) - (wurzel(5)/2))*(1-wurzel(5)/2)^n*(1/wurzel(5))
= (1+wurzel(5)+2/2)*(1+wurzel(5)/2)^n*(1/wurzel(5)) - (1-wurzel(5)/2)*(1-wurzel(5)+2/2)*(1/wurzel(5))

Wie man sieht, ist das dasselbe.

Damit ist auch der Induktionsschritt gezeigt.

Ich hoffe du kommt mit der Schreibweise zurecht, ist sehr viel rumrechnerei!!

Tamara
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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 27. November, 2004 - 20:56:   Beitrag drucken

Hallo,
bräuchte mal eure Hilfe bei einer Aufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.

Sei F(n) (n ist Element der nat.Zahlen) die Folge der Fibonacci-Zahlen:
F(0) = F(1) = 1 und F(n+2) = F(n) + F(n+1) für n>=0.
Zeigen Sie, dass die Folge [(F(n+1))/(F(n))] gegen [((wurzel 5)+1)/(2)] konvergiert.

Ich hoffe ihr könnt meine Schreibweise lesen, kann leider keinen Text tief stellen. Ich habe dann um das was tiefgestellt ist ne Klammer gemacht. F(n+1) heißt dann also, dass n+1 tiefgestellt ist. Das sieht dann bei den beiden Brüchen etwas abenteuerlich aus, weil ich da auch Zähler und Nenner geklammert habe, aber ich denke man kann es erkennen.
Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.
MfG Sarah
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1010
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. November, 2004 - 23:46:   Beitrag drucken

(F(n+1))/(F(n)) = (F(n)+F(n-1))/F(n) = 1+F(n-1)/F(n)

da n gegen unendlich geht:
(F(n+1))/(F(n)) = F(n)/F(n-1) = t

daher

t = 1 + 1/t
t^2 = t + 1
t^2 - t - 1 = 0
1/2 +/- sqrt( 1/4 + 1 )
1/2 +/- sqrt( 5 ) / 2

die negative Lsg. können wir streichen,
übrig bleibt die positive Lsg. 1/2 + sqrt(5)/2
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 14:28:   Beitrag drucken

Zwei Sachen davon versteh ich net deswegen noch mal ne kurze zwischen Frage:
wieso ergibt bei ne quadrierung von t das ganze nur t+1?und da n ja gegen unendlich geht ergibt bei dir (F(n+1))=F(n)/F(n-1) aber wieso?

Schon ma danke für den rest!
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1012
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 15:13:   Beitrag drucken

t = 1 + 1/t <-- da hab ich mit t erweitert
t^2 = t + 1

deine 2te Frage versteh ich nicht;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 15:28:   Beitrag drucken

du hast geschrieben da n gegen unendlich geht:
(F(n+1))/(F(n))=F(n)/F(n-1)=t
aber wiso gilt F(n)/F(n-1)?
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1014
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 18:14:   Beitrag drucken

das beruht darauf, daß der Quotient für n->inf konvergiert;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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