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Beitrag |
    
Andi
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 15:42: | 
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hmmm... ich scheine alles über die Ferien vergessen zu haben.
Vielleicht könnt Ihr mir helfen.
Aufgabe:
Bestimmen Sie den Radius und die Höhe des Zylinders, der unter allen Zylindern mit gleichgroßer Oberfläche den größten Rauminhalt hat.
danke im Voraus |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 23:19: |
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Hi Andi!
Erst eine Skizze:
Aufgrund der vorangeschrittenen Uhrzeit lassen wir die mal weg.
Dann ein paar Bezeichnungen:
V=Volumen, h=Höhe, G=Grundfläche, r=Radius, A=Oberfläche (O sieht immer so aus wie 0), M=Mantelfläche, K=Kreisfläche, U=Umfang
Dann ein paar Formeln:
V= G*h = p*r²*h
und
A=M+2K = U*h+2K = 2pr*h+2*pr²
=2pr(h+r)
Das Volumen muss maximiert werden. Nun müssen wir uns für eine der beiden Variablen (r oder h) entscheiden, und dann die Nebenbedingung (A=2pr(h+r) )nach der anderen auflösen, damit wir die zu maximierende Größe V als Funktion der ausgewählten Variblen ausdrücken können.
Ich wähle als unabhängige Variable r. (weil man die Nebenbedingung einfacher nach h als nach r auflösen kann).
A=2pr(h+r)
=> h+r=A/(2pr)
h=A/(2pr)-r
Das eingesetzt in die Volumenformel:
V(r)=p*r²*h
=p*r²*[A/(2pr)-r]
=(A/2)*r-pr³
V ergibt sich also als ganzrationale Funktion von r.
V'(r)=(A/2)-3pr²
Das wird Null gesetzt:
0=(A/2)-3pr²
3pr²=A/2
r²=A/(6p)
r=Ö[A/(6p)]
r eingesetzt wird nun eingesetzt in h=A/(2pr)-r
=> h=A/(2pÖ[A/(6p)])-Ö[A/(6p)]
Das ergibt bei mir:
h=2*Ö[A/(6p)], also doppelt so viel.
A steht dabei natürlich immernoch für die Oberfläche.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet oder so...
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Andi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 19:07: |
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besten Dank! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 20:10: |
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Nichts zu danken! :-)
Ciao
Cosine |
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