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Andi
| Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 15:42: |
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hmmm... ich scheine alles über die Ferien vergessen zu haben. Vielleicht könnt Ihr mir helfen. Aufgabe: Bestimmen Sie den Radius und die Höhe des Zylinders, der unter allen Zylindern mit gleichgroßer Oberfläche den größten Rauminhalt hat. danke im Voraus |
Cosine (Cosine)
| Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 23:19: |
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Hi Andi! Erst eine Skizze: Aufgrund der vorangeschrittenen Uhrzeit lassen wir die mal weg. Dann ein paar Bezeichnungen: V=Volumen, h=Höhe, G=Grundfläche, r=Radius, A=Oberfläche (O sieht immer so aus wie 0), M=Mantelfläche, K=Kreisfläche, U=Umfang Dann ein paar Formeln: V= G*h = p*r²*h und A=M+2K = U*h+2K = 2pr*h+2*pr² =2pr(h+r) Das Volumen muss maximiert werden. Nun müssen wir uns für eine der beiden Variablen (r oder h) entscheiden, und dann die Nebenbedingung (A=2pr(h+r) )nach der anderen auflösen, damit wir die zu maximierende Größe V als Funktion der ausgewählten Variblen ausdrücken können. Ich wähle als unabhängige Variable r. (weil man die Nebenbedingung einfacher nach h als nach r auflösen kann). A=2pr(h+r) => h+r=A/(2pr) h=A/(2pr)-r Das eingesetzt in die Volumenformel: V(r)=p*r²*h =p*r²*[A/(2pr)-r] =(A/2)*r-pr³ V ergibt sich also als ganzrationale Funktion von r. V'(r)=(A/2)-3pr² Das wird Null gesetzt: 0=(A/2)-3pr² 3pr²=A/2 r²=A/(6p) r=Ö[A/(6p)] r eingesetzt wird nun eingesetzt in h=A/(2pr)-r => h=A/(2pÖ[A/(6p)])-Ö[A/(6p)] Das ergibt bei mir: h=2*Ö[A/(6p)], also doppelt so viel. A steht dabei natürlich immernoch für die Oberfläche. Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet oder so... Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen. Ciao Cosine |
Andi
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 19:07: |
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besten Dank! |
Cosine (Cosine)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 20:10: |
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Nichts zu danken! :-) Ciao Cosine |
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