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neo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 09:20: | 
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Wer kann mir bei folgendem Problem weiterhelfen?
(bin kurz vor´m durchdrehen !)
Welches ist die maximal mögliche Länge einer Leiter, die gerade noch durch eine Türe mit der Höhe H = 2*sqrt(2)m in den unendlich hohen Turm mit der breite 1m hineingestellt werden kann?
Danke!!! |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 09:29: |
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Ansatz: Leiter =Strecke
L Länge L
y Höhe Anlehnpunkt
x waag. Abstand Fußpunkt
B Breite/Durchmesser Turm
H Türhöhe
L²=x²+y²
y/x=H/(x-B), nachrechnen! ->
L(x) = (x/(x-B))*SQR((x-B)²+H²)
Minimum L(x) = minimale Streckenlänge beim Durchschieben = maximale Leiterlänge Lmin=? 5,53 m, F.
PS: Bei Durchmesser 1 m kann die Leiterbreite nicht mehr vernachlässigt werden. (Eine Lösung dieses räumlichen Problems sehe ich jedoch nicht.) Auch haben meines Wissens begehbare Industrieschornsteine (Turm ist ja kaum möglich) innen Tritte zum Besteigen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 09:40: |
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Hi neo,
Motto zu Deiner Aufgabe:
Das Ende der Fahnenstange ist noch lange nicht erreicht
Disposition (Figur)
Koordinatensystem Oxy
Punkt A ( x / 0) auf der x-Achse
Punkt B ( 0 / y) auf der y-Achse
Punkt (a / b ) mit a = 1 (Breite des Turmes),
b = 2 * wurzel(2) = wurzel(8) : lichte Höhe der Türe.
Winkel alpha = Winkel OAB
Deine Aufgabe ist äquivalent zur folgenden Version:
Die Strecke AB soll durch P gehen und minimale Länge L haben
(Achtung: es heisst minimal, nicht maximal. Es lohnt sich ,über diesen
Hinweis zu meditieren!)
Zur Lösung stellen wir L als Funktion von alpha dar; dieTrigonometrie
des rechtwinkligen Dreiecks ergibt:
L = L ( alpha) = a / cos (alpha) + b / sin (alpha)
Wir leiten nach alpha ab und erhalten:
L ' (alpha) = a * sin(alpha) / cos^2 (alpha) - b * cos (alpha) / sin^2(alpha);
Um die Extremalstelle zu erhalten, setzen wir L' (alpha ) null und erhalten zunächst:
a* sin^3 (alpha) = b * cos^3(alpha) oder
tan ^ 3(alpha) = b/a = wurzel(8) für das numerische Beispiel.
Daraus entsteht nach einfacher Potenzrechnung:
tan(alpha) = wurzel (2) , weiter kommt
cos ^2 (alpha ) = 1 / ( 1 + tan^2 (alpha)) = 1/3 und
sin^2(alpha) = 2 / 3. Damit gewinnen wir den Extremwert (Minimum )
L* = a * wurzel(3) + b* wurzel (3) / wurzel(2) = 3* wurzel(3)
als die gesuchte optimale Stangenlänge.
Für Kenner von Problemen mit Fahnenstangen sei noch eine besonders elegante Methode zur Lösung eben dieses Problems gezeigt:
Die Endpunkte einer Strecke AB konstanter Länge L gleiten auf den Koordinatenachsen und zwar A auf der x-Achse, B auf der y-Achse.
Dann hüllt diese Streckenschar eine Astroide ein. Diese Enveloppe (Einhüllende) der Schar hat die Gleichung x^(2/3) + y^(2/3) = L^(2/3).
Jetzt verlangen wir einfach, dass diese Astroide durch den
Punkt P (1 / wurzel(8)) gehen soll
Wir erhalten die Gleichung:
1 + (2^(3/2)) ^ (2 / 3 ) = L ^ (2/3) , also:
L^(2/3) = 3 oder L = 3 ^ (3 / 2 ) = 3 * wurzel (3) wie oben.
Jetzt endlich ist die Stange dort, wo sie sein soll !. |
Meike Bauer (Meike)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 12:08: |
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Wie kriege ich eine ähnliche Aufgabe heraus, wenn ich die Leiter h=8m, die Breite des Turms mit ht=4m und dessen Höhe ht=10m gegeben habe. ich muss nun herauskriegen, was die minimale höhe der Tür sein muss, sodass ich die Leiter gerade hereinbekomme. Helft mir bitte schnell.
Danke Meike |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 20:12: |
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Hi Meike,
Ich versuche, über meinen Schatten zu springen
und Deine Aufgabe doch noch zu lösen.
Die Grundlage dazu bilden meine Ausführungen
in diesem Board vom 07.Juni 2000,10.40 Uhr
Du hast diese im Archiv ausgegraben ,
und sie liegen Dir vollumfänglich vor:
du sollst sie jetzt gut studieren,
mindestens den Anfang.
Ich verwende im Folgenden genau die gleichen
Bezeichnungen. Deine numerischen Daten setzen wir
ganz am Schluss ein; sie sollen aber jetzt schon
identifiziert werden
Die minimale Länge L min der Leiter muss 8 m
gesetzt werden, a ist nach wie vor die Breite des Turms,
also gilt a = 4 m
Gesucht wird die lichte Höhe b der Türe.
Als Resultat wird herauskommen: b= 1.80 m.
Wir übernehmen alles aus dem zitierten Text
genau bis zur Stelle :
tan ^ 3 (alpha ) = b / a
Nun geht's mit neuem Elan weiter.
Daraus berechnen wir tan(alpha) = b^ (1/3) / a ^ (1/3)
Mit den Formeln
cos(alpha = 1 / wurzel [1+ (tan(alpha) ^ 2 ] und
sin (alpha ) = tan(alpha ) * cos (alpha) errechnen wir:
cos (alpha ) = a ^ (1/3) / W ,
sin(alpha) = b ^ (1/3) / W ,
wobei W die Quadratwurzel darstellt:
W = wurzel [ ( a ^ (2/3) + b ^ (2/3) ]
Dies setzen wir in die Formel für L ein und bekommen:
L = a * W / a ^ ( 1 / 3 ) + b* W / b ^ ( 1 / 3 )
= W*a^(2/3) + W*b ^(2/3 ) = W * [ a ^(2/3) + b ^/2/3) ]
Substitution W rückgängig gemacht:
L = [ a ^ (2/3) + b ^ ( 2 / 3) ] ^ ( 3 / 2 )
Jetzt setzen wir die Zahlen ein,
nämlich L = 8 und a = 4 und lösen nach b auf:
Das geht recht flüssig, indem wir die letzte Gleichung mit
2 / 3 potenzieren:
8 ^(2/3) = 4 ^ (2/3) + b ^ (2/3)
Links steht die Zahl 4; Auflösung nach b ^ ( 2 / 3 ) :
b ^ (2/3) = 4 - 4^(2/3) = 1,480
b = 1.480 ^ ( 3 / 2 ) = 1,80
Fertig !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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