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Stetigkeit

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Walliworld (Walliworld)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Walliworld

Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 20:07:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe Probleme bei folgendem Beweis:

Für die Funktion f: R-->R gelte f(0)=1 und f(x+y)<=f(x)f(y) für alle x,y elem. R. Zeigen Sie: Wenn f stetig an der Stelle 0 ist, dann ist f stetig auf ganz R.

Ich finde keinen Ansatz. Vielleicht kann mir jemand helfen

MfG
Stefan
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1705
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 20:29:   Beitrag drucken

Hallo Stefan

Wir zeigen, dass f an der Stelle a stetig ist.
Sei dafür (an) eine Folge mit lim an = a.
Es gilt dann lim (an-a) = lim (a-an) = 0.
Insbesondere gilt f(a-an)>0 für hinreichend große n, weil f stetig im Nullpunkt ist und f(1)>0 . Wir nehmen also ohne Einschränkung an, dass f(a-an)>0 gilt. Nun gelten die beiden Ungleichungen:
i) f(a)=f(a-an+an)£f(a-an)*f(an)
<=> f(a)/f(a-an)£f(an)
ii) f(an)=f(an-a+a)£f(an-a)*f(a)

Zusammen also
f(a)/f(a-an)£f(an)£f(an-a)*f(a)
Nun geht aber sowohl die linke, als auch die rechte Seite gegen f(a) (f ist stetig in 0!), also gilt auch lim f(an) = f(a), womit die Stetigkeit bewiesen ist.

MfG
Christian
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Walliworld (Walliworld)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Walliworld

Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2005 - 11:29:   Beitrag drucken

Hallo,

ja jetzt ist mir einiges klar.

DANKE

Gruß Stefan

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