| Autor |
Beitrag |
    
Hansmayer (Hansmayer)
Junior Mitglied
Benutzername: Hansmayer
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2005 - 20:40: | 
|
Kann mir jemand zeigen, wie man folgenden Satz beweist: Sei xn eine streng monoton fallende, gegen 0 konvergierende Folge und yn eine Nullfolge ohne weitere Bedingung. Man beweise:
Wenn limn ® ¥ (yn+1 - yn)/(xn+1 - xn) = a existiert, dann ist auch limn ® ¥ yn/xn = a.
Könnt ihr mir bitte helfen? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2565
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 12:30: |
|
also das umgekehrte ließe sich beweisen
indem man das für n -> oo
geltende
a = yn/xn = yn+1/xn+1
also
ynxn+1 = yn+1xn
in
die erste Gleichung einsetz.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1793
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 13:24: |
|
@Friedrich: was meinst du mit "erste Gleichung"? Kannst du es bitte ausführen? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2567
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 15:23: |
|
angenommen, der 2te Grenzwert gilt dann gilt für den 1ten die Umformung
und noch in den Zähler des 2ten Bruch rechts meine 2te Formelzeile aus dem 1ten Posting einsetzen!
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1794
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 20:45: |
|
Hallo Friedrich, tut mir leid, aber deinen Umformungen kann ich leider nicht ganz folgen. Wie kommst du auf diese Gleichung?
Z. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 955
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Januar, 2005 - 08:32: |
|
Hallo,
@Friedrich, Kardinalfehler: es heisst
yn/xn®a.
Dann darf man aber nicht
yn/xn = a
und also auch nicht
ynxn+1 = yn+1xn
schreiben.
Ich denke, man kann o.B.d.A. a=0 voraussetzen. Sei
nämlich
un := (yn+1-yn)/(xn+1-xn) - a ,
vn := yn/xn - a.
Dann ist
un= (xn+1vn+1-xnvn)/(xn+1-xn).
Beh.: lim un = 0 => lim vn = 0.
mfG Orion
|
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2568
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Januar, 2005 - 10:57: |
|
@Orion:
wenn der limn -> oo(yn/xn) = a
existiert
muß aber doch limn -> oo(yn/xn) = limn -> oo(yn+1/xn+1)
gelten
also auch, für n -> oo, ynxn+1=yn+1xn
allerdings ( @Zahph: )
habe ich mich bei der "Division" leider vertan,
der Zähler der 2ten Bruches ist ynyn+1
und damit der Rest Unsinn.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 956
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Januar, 2005 - 15:17: |
|
Friedrich,
Allgemein: Aus lim An = lim Bn folgt
n i c h t An = Bn (auch nicht "für n®¥", was ohnehin unsinnig ist). Gegenbeispiele liegen auf der Hand.
mfG Orion
|
