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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1094
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Mai, 2004 - 20:16: | 
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Hallo Leute,
habe folgendes Problem:
ich soll folgenden Ausdrücke auf "Summierbarkeit" untersuchen:
a) (n^10/10^n)[index: n aus IN]
b)((n!)^2/(2n)!)[index: n aus IN]
c)(1+ (1/n))^(-n²) [index: n aus IN]
d) (n^(1/n)-1)^n [Index: n aus IN]
Achtung:
Ich habe bewußt den Begriff Sumierbar gewählt, weil es nicht reicht die einfachen Reihen zu betrachten. Um Summierbar zu sein, muss auch jede Teilmenge eine konvergente Teilmenge bilden!
Beispiel:
die alternierende harmonische Reihe
((-1)^n)*(1/n) ist konvergent, aber nicht summierbar, weil die einfache harmonische Reihe als Teilmenge nicht konvergent ist!
Wie kann ich nun die Sumierbarkeit meiner Mengen am besten überprüfen? Welche ist Summierbar, was ist nicht summierbar?
Als Hinweis sei noch erwähnt, das mir zur Überprüfung nur das "Majorantenkriterium" bzw. das "Minorantenkriterium" zurzeit zur verfügung steht.
Danke im Voraus!
Gruß N.}} |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1095
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 21:31: |
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Hi Leute,
was ich "Summierbarkeit" genannt habe nennen wohl andere Bücher "absolute Konvergenz".
D.h die oben genannte Reihen sollen auf absolute Konvergenz überprüft werden.
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1097
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 17:19: |
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So, ab heute darf man mit allen Kanonen schießen,
d.h. Wurzelkriterium, Quotientenkriterium.....
Würde mich mal freuen überhaupt zu hören, was von den 4 Aufgaben summierbar ist oder nicht. a) und d) dürften nach dem Wurzelkriterium konvergieren, aber wie sieht es mit b) und c) aus??? kann mir nicht vorstellen das alle summierbar sind....
Gruß N. |
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 21:24: |
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Moin Niels,
doch da sind tatsächlich alle summierbar.
b) ist mit dem Wurzelkriterium recht einfach und c) kann man gegen (1/2)^n abschätzen.
Gruß, DULL |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1099
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 07:56: |
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Hi Dull,
wie bitte soll ich b) mit den Wurzelkriterium abschätzen? da stehen doch fakultäten!
Und wie schätze ich c) gegen (1/2)^n ab????
könntest du bitte nochmal etwas dazu genauer erläutern?
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1100
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 08:37: |
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und funktioniert bei a) auch das Wurzelkriterium?
Oder lieber ein anderes Kriterium..... |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1101
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 13:33: |
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Hi Leute, habe für b) folgenden Vorschlag:
man kann doch zeigen das für (2n)! folgende Abschätzung gilt:
(2n)! < 22n(n!)²
das würde doch bedeuten:
1/(22n)< (n!)²/((2n)!)
denkt man sich noch dazu die Summenzeichen, so habe ich doch mit 1/22n eine konvergente Minorante gefunden, also summierbar....
geht das so?
Gruß N. |
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 134
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 15:49: |
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Ja,ja, das kommt davon, wenn man neben dem Tippen telefoniert 
Ich meinte natürlich für b) das Quotientenkriterium:
Dann kürzt sich alles weg und es bleibt nur (n+1)^2/[(2n+1)*(2n+2)] stehen und der limsup davon ist 1/4 < 1.
Wie kommst du auf die Abschätzung von (2n)! ? Damit sieht es ja wahrscheinlich noch eleganter aus...
bei c) gilt:
(n+1)^n >= (n über n)*n^n + (n über n-1)*n^(n-1)=2*n^n (die Abschätung ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz)
=> 2*n^n/(n+1)^n =< 1 => n^(n^2)/(n+1)^(n^2) =< 1/2^n => Beh.
Ich hoffe mal, du kannst alles nachvollziehen und ich ahbe keine Fehler eingebaut.
Gruß, DULL |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1102
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 19:38: |
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Hi Dull,
was hälst du von Bernoulli:
(1+1/n)^(n^2)=(1+1/n)^n)^n>=2^n
einfach im "inneren" Bernoulli angewannt- würde man nun die Kehrwerte Betrachten erhilte man die geometrische Reihe.
solche Majoranten wären mir bei den anderen Aufgaben auch lieber als kriterien, aber sonst....
Die Fakultätsabschätzung ist wirklich nett, soll ich den Beweis hier publizieren???
Auf wunsch mache ich das glatt....
Gruß N. |
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 135
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Mai, 2004 - 21:44: |
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Moin Niels,
ja, wenn er nicht allzu lang ist wäre das nett. Klingt ja recht hilfreich.
Danke, DULL |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1103
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 13:11: |
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Hi Dull,
geholfen hat mir das nicht wirklich, weil ich ja eine "<" dort stehen hatte, und somit "nur" eine konvergente Minorante, was mich nicht wirklich weiterbrachte....ich bin daher doch wieder auf das Quotientenkriterium umgestiegen.
aber beweisen kann ich dir das trotzdem heute im laufe des Tages....
mfg
Niels |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1108
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 10:43: |
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Hi Dull, schau dir auf folgenden Blatt auf der zweiten Seite die "Zusatzaufgabe an!....
Gruß N. |
(2n)! Abschätzung
