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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4022
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Mai, 2004 - 21:02: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 369 soll eine gegebene periodische Funktion
in eine Fourier-Reihe entwickelt werden, mit Papier und Bleistift,
ohne CAS –Hilfen.
Die Funkton f(x), welche mit der Periode 2 Pi fortgesetzt werden soll,
lautet:
f(x) = ½ (Pi – x ) ; 0 <= x <= 2 Pi.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1355
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 10:36: |
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Hi megamath,
ich versuchs mal, habs jetzt so gemacht wie es im Analysis Buch stand...
a0 = 1/pi * int[ f(x) dx ] [0..2pi]
a0 = 0
ak = 1/pi * int[ f(x)*cos(kx) dx ] [0..2pi]
ak = 0
bk = 1/pi * int[ f(x)*sin(kx) dx ] [0..2pi]
bk = 1/k
ak, bk mit partieller Integration! Funktion scheint ungerade zu sein, da alle Cosinus verschwinden!
Es kommt dann:
f(x) = a0/2 + sum[ ak*cos(kx) + bk*sin(kx) ] [k=1..inf]
f(x) = sin(kx)/k [k=1..inf]
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4023
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 12:08: |
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Hi Ferdi,
Das Resultat ist richtig.
Das Summenzeichen darf nicht fehlen
Der Summationsindex ist richtig.
Bevor man zu rechnen beginnt, sollte man
bereits abklären, ob aus Symmetriegründen
die ak oder bk allenfalls verschwinden.
Im vorliegenden Fall sind alle ak = 0, da die Funktion
bezüglich O punktsymmetrisch ist.
Nur auf speziellen Wunsch sollen die Koeffizienten bk
en détail noch vorgerechnet werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4024
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 12:26: |
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Hi allerseits
Es folgt eine Anmerkung zur vorliegenden Aufgabe LF 369.
Ersetzt man im Ergebnis x durch 2 Pi z so entsteht
die für 0 < z < 1 gültige Formel
sum [sin (2 Pi n z ) / n ] = Pi * ( ½ – z ) ,
( n = 1 ad infinitum ).
Diese Identität wurde bereits von Leonhard Euler im Jahr
1744 in einem Brief an Christian Goldbach angegeben;
Euler publizierte einen Beweis 11 Jahre später.
Diese Reihe wird erneut zum Thema in der
Aufgabe LF 370.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1096
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 08:45: |
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Ich wäre an den bk Koeffizienten interessiert....
Gruß N. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4030
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 10:02: |
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Hi Niels
Der Koeffizient bk ist so definiert:
bk = 1/Pi * int [½ (Pi – x) sin (k x) dx ],
untere Grenze 0, obere Grenze 2 Pi.
Wir berechnen zuerst das Teil-Integral
J = int [x sin k x dx ] von 0 bis 2 Pi
mit partieller Integration:
u = x , v´= sin k x, also
u ´ = 1 , v = - 1/k cos k x
Es kommt:
J = - 1/k cos (kx) * x – int [(-1/k cos(kx) dx ]
in den genannten Grenzen.
Weiter
J = - 1 / k * x cos(kx) + 1/k int [ cos (k x ) dx ]
J = - 1 / k * x cos(kx) + 1 / k^2 sin (k x )
Es sind die Grenzen einzusetzen, oben 2 Pi, unten 0.
dabei entsteht endgültig für das Teilintegral:
J = - 1 / k * 2 Pi
Weiter mit bk:
bk = 1/Pi * Pi/2 * int [sin (k x) dx ] - 1/(2Pi) * J,
Das Integral (in den bekannten Grenzen) gibt NULL!
Es bleibt:
bk = - 1/(2Pi) * (- 1 / k * 2 Pi) = 1 / k, bravo!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1098
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 18:38: |
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Hi Megamath,
vielen Dank für die Ausführliche Rechnung!
Habe wegen Studium im Moment wenig zeit für derlei Aufgaben. Allerdings ist derzeit auch bei mir das Thema Reihen und Summierbarkeit (auf normierten Räumen) dran....
daher versuche ich auch am Ball zu bleiben....
vielen Dank nochmal!
Gruß N. |
