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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4016
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 08:36: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 368 erscheint wiederum
eine (kleine) Reihenaufgabe: R8 .
Einleitung:
Die Funktion f(x) = x / (e^x – 1) lässt sich
bekanntlich in eine Taylorreihe mit
dem Nullpunkt O als Zentrum entwickeln.
In dieser Reihe erscheinen die Bernoullizahlen
Bn, siehe auch
http://www.mathe-seiten.de/bernoulli.pdf
Da die Bezeichnungen in der Literatur nicht
einheitlich sind, sollen hier die ersten neun
Bernoullizahlen notiert werden:
B0 = 1, B1= - ½ , B2 =1/6, B3 = 0 , B4 = -1/30,
B5 = 0 , B6 = 1/42 , B7 = 0 , B(8) = - 1/30.
Aufgabe
Mit der (komplexen) Transformation z = t / i
verwandle man die gegebene Funktion
g(z) = ½ z cot (½ z) in eine Funktion in t,
welche sich mit Hilfe der eben erwähnten
Taylorentwicklung für abs(z) < Pi als eine
Reihe schreiben lässt, in der die Bn auftreten.
Als Ziel soll gelten:
Darstellung von g(z) als eine unendliche Reihe in der
Form mit Bernoullizahlen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1354
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 15:13: |
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Hi megamath,
eine nette Aufgabe!!
Mein Weg:
(1/2)z * cot((1/2)z) =
(1/2)z * i * ( (e^(iz)+1) / (e^(iz)-1) )
mit z = t/i wir daraus:
(1/2)*t * ( (e^(t)+1) / (e^(t)-1) )
(1/2)*t * coth((1/2)*t)
Das ist gerade
1 + sum[k=1..inf] [ B(2k) * t^(2k) / (2k)! ]
Setzen wir nun wieder t = iz folgt das Ergebniss:
(1/2)z * cot((1/2)*z) = 1 - sum[k=1..inf] [ B(2k) * z^(2k) / (2k)! ]
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4017
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 17:22: |
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Hi Ferdi
Deine Herleitung des Schlussresultats ist richtig.
Achtung: die Vorzeichen bei den Bj sollten noch
kontrolliert werden.
In lockerer Schreibweise mit den Bernoullischen Zahlen Bj
lautet das Ergebnis:
g(z) = ½ z cot (½ z) =
1 – B2 /2! x^2 + B4 /4! x^4 – B6 /6! x^6 + B8 / 8! x^8 – B10 /10! x^10 +………
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4018
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 17:26: |
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Hi allerseits,
Die Bernoullischen Zahlen B(j) treten auch bei andern
Taylorentwicklungen auf.
Beispiele:
x cot x = sum [(-1)^n*4^n *B(2n) / (2n)! * x^(2n) ],
n = 0 ad infinitum,
abs(x) < Pi
tan x = sum [(-1)^(n-1) *4^n * (4^n - 1) * B(2n) / (2n)! * x^(2n-1)],
n = 1 ad infinitum,
abs(x) < ½ Pi
x / sin x = sum [(-1)^(n-1) *(4^n -2) *B(2n) / (2n)! * x^(2n) ],
n = 0 ad infinitum,
abs(x) < Pi
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4019
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 20:31: |
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Hi allerseits
Noch ein Beispiel als Nachzügler:
tanh x = sum [4^n * (4^n - 1) * B(2n) / (2n)! * x^(2n-1)],
n = 1 ad infinitum,
abs(x) < ½ Pi
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4021
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Mai, 2004 - 20:58: |
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Hi allerseits
Ohne Beweis sei noch ein interessanter Aspekt
zu den Bernoullizahlen mitgeteilt.
Es gibt eine Formel, die das asymptotische
Verhalten dieser Zahlen beschreibt.
Der Betrag einer Bernoullizahl gerader Nummer
ist angenähert:
abs [B(2k)] ~ 4*{ k / (e*Pi) }^ (2k) * sqrt (k* Pi)
Beispiele:
k = 11:
B(22) = 6192123188
Näherung: 6168712679
k = 33:
B(66) = 0,22753 * 10^41
Näherung: 0,22724 * 10^41
k = 1002:
B(2004) = - 0,29889 * 10^4150
Näherung (Betrag) : 0,29918 * 10^4150
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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