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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3532
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 12:13: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 223 hat es in sich!
Die Hauptrolle spielt wieder der Torus
aus der Aufgabe LF 200,
Koordinatengleichung:
[x^2+y^2+z^2+a^2 – r^2]^2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) = 0
Parameterdarstellung:
x = (a + r cos u ) cos v
y = (a + r cos u ) sin v
z = r sin u
In der (x,z)-Ebene y = 0 liegen die beiden Kreise
k1 x - a)^2 + z^2 = r^2 und
k2x+ a)^2 + z^2 = r^2,
welche die Rolle von Meridiankurven des Torus
übernehmen.
Nun betrachten wir eine INNERE gemeinsamen
Tangente der Kreise k1 und k2;die Berührungspunkte
seien T1 auf k1, T2 auf k2.
Die Gerade g = T1 T2 und die y-Achse spannen eine
Ebene V auf.
Die Ebene V berührt den Torus in den Punkten
T1 und T2 und heißt dementsprechend
„doppelt berührende Tangentialebene“.
Aufgabe
Man beweise, dass die Ebene V den Torus in
zwei Kreisen schneidet; es sind
dies die so genannten Kreise von Villarceau.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3534
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 15:27: |
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Es folgt ein Lösungshinweis.
Der Winkel zwischen g und der x - Achse sei phi.
Dann gilt sin (phi ) = r/a.
Wir führen eine Koordinatentransformation durch:
Neues rechwinkliges Koordinatensystem X,Y,Z
(Basiseinheitsvektoren I,J,K) mit demselben Nullpunkt
und folgender Spezifikationen:
Die (X,Y)-Ebene fällt mit der Tangentialebene
zusammen:
I = {cos(phi) ; 0 ; sin(phi} etc.
In der mit den neuen Koordinaten angeschriebenen
Gleichung des Torus wird Z = 0 gesetzt
und damit der Schnitt mit der Tangentialebene erzeugt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1133
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 22:45: |
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Hi megamath,
ich habs mal rein analytisch versucht:
Kann es sein, das die gesuchte Ebene V:
r x - sqrt(a^2-r^2)z = 0
lautet?? Kann ich hiermit rechnen?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3535
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 07:07: |
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Hi Ferdi
Die von Dir angegebene Gleichung der Ebene V ist
richtig!
Ich habe in meinem letzten Statement den Winkel phi
zwischen g und der x - Achse eingeführt
und sin (phi ) = r/a notiert.
Die Gleichung der Ebene V lautet demnach
z = m x mit m = tan (phi).
Wertet man das aus, so entsteht
r x - sqrt(a^2-r^2)z = 0 als Gleichung der Ebene V.
Vielleicht kann man damit erfolgreich weiterfahren!
Beachte dabei, dass die Gleichung der Kreise von
Villarceau zunächst in der Form einer Gleichung
vierten Grades erscheint, die man noch in zwei
Gleichungen zweiten Grades zerlegen muss.
Dies ist übrigens auch bei meiner Methode der
Orthogonaltransformation der Fall.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3536
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 07:42: |
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Hi allerseits
Es folgt ein weiterer Lösungshinweis
als Fortsetzung meiner früheren Hinweise.
Als Basiseinheitsvektoren I,J,K des neuen
(X,Y,Z)-Koordinatensystems verwenden wir:
I = {cos(phi) ; 0 ; sin(phi}
J = {0 ; 1 ; 0}
K= {- sin (phi); 0; cos(phi)}
J ist trivialerweise richtig,
K ergibt sich aus der Anschauung oder als
Vektorprodukt I x J
Kurzum:
Wir haben die gesuchte orthogonale Matrix M in
Miss Marple – Schreibweise:
M = [[cos(phi),0,sin(phi)],[0,1,0],[-sin(phi),0,cos(phi)]]
Daraus entnehmen wir die Transformation
„alte Koordinaten durch neue“:
x = X cos (phi) – Z sin(phi)
y = Y
z = X sin(phi) + Z cos(phi)
Da wir schließlich die Flache mit der X,Y-Ebene schneiden
wollen, setzen wir prophylaktisch schon jetzt Z = 0,
bevor wir in die Torusgleichung einsetzen.
Man verwende also die einfachen Relationen:
x = X cos (phi)
y = Y
z = X sin(phi)
Guten Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1134
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 13:10: |
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Hi megamath,
ich dachte die Eliminierung von z würde helfen, also z = r x / sqrt(a^2-r^2) , aber mir gelingt es nicht den entstehenden Term umzuformen!
Anschaulich ist mir die Sache klar, aber dieser Term, andem ich jetzt schon drei Stunden rumbastele treibt mich in den Wahnsinn...
Ich habe mal ein wenig geschaut, stammt diese Aufgabe aus dem Buch : "Théorème sur le tore" von Villarceau aus dem Jahre 1848? Mich würde es reizen mal so ein Original zu lesen, mein Französisch müsste dazu eigentlich reichen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3537
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 15:25: |
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Hi Ferdi
Es ist natürlich nicht der Zweck der Übung, Dich zu irritieren.
Ich bin mit der Rechnung auch noch nicht ganz fertig, lasse mich
aber grundsätzlich nicht fertig machen.
Ich versuche, noch heute das Ergebnis ins Forum stellen zu können.
Die Aufgabe und Fragmente der Lösung finden sich in meinen
älteren persönlichen Notizen.
Originalarbeiten von Villarceau würden mich allerdings interessieren.
Hast Du Teile davon?
Jetzt geht es an die Weiterarbeit !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3538
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 15:45: |
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Hi allerseits,
Abschluss der Aufgabe LF 223, 1.Teil
Wir setzen
x = X cos (phi)
y = Y
z = X sin(phi)
in die Torusgleichung
[x^2+y^2+z^2+a^2 – r^2]^2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) = 0
ein; es kommt:
[X^2+Y^2+a^2 – r^2]^2 – 4 a^2[X^2 (cos (phi))^2 + Y^2] = 0
Für (cos (phi) )^2 schreiben wir
(cos (phi) ) ^ 2 = (a^2 - r^2) / a^2.
Es entsteht:
(X^2+Y^2+a^2 – r^2)^2 – 4 (a^2 – r^2) X^2 – 4 a^2 Y^2 = 0
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1135
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 16:25: |
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Hi megamath,
ich habe leider keinen Zugang zu original Literatur, von keinem großen Mathematiker, ich fand nur einen Hinweis zu diesem Buch, als ich mal im Netz nach Villarceau suchte.
Ich dachte, das du es vielleicht kennst...aber wenn du es in deinen Unterlagen stehen hast, ok! Leider scheint heute sowas gar nicht mehr vermittelt zu werden, solche schönen Sachen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3539
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 17:53: |
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Hi Ferdi
Heureka, ich hab´s !
Zuletzt hatten wir die Gleichung
(X^2+Y^2+a^2 – r^2)^2 – 4 (a^2 – r^2) X^2 – 4 a^2 Y^2 = 0
Wir subtrahieren den Term
4 (a^2 - r^2) Y^2 und addieren ihn sofort wieder.
Dank dieser Manipulation entsteht die Gleichung
(X^2+Y^2+a^2 – r^2)^2 –4(a^2 – r^2) (X^2 +Y^2) – 4 r^2 Y^2 = 0
Jetz verwenden wir die Abkürzungen
X^2+Y^2 = u
a^2 - r^2 = v
Die letzte Gleichung lautet dann
(u+v)^2 - 4 u v - 4 r^2 Y^2 = 0 oder
(u – v ) ^ 2 – 4 r^2 Y^2 = 0
Dies lässt sich in Faktoren zerlegen wie folgt:
(u – v + 2 r Y) * ( u – v - 2 r Y ) = 0
oder mit den ursprünglichen Bezeichnungen:
[X^2+Y^2 – a^2 + r^2 + 2 r Y] [X^2+Y^2 – a^2 + r^2 - 2 r Y] = 0
oder
[X^2+ (Y + r)^2 – a^2 ] [X^2+ (Y- r)^2 – a^2 ] = 0
Es liegen zwei Kreise in der (X,Y)-Ebene vor.
Erster Kreis c1: Mittelpunkt M1(0/-r) auf der Y-achse, Radius a
Zweiter Kreis c2: Mittelpunkt M2(0/ r) auf der Y-achse, Radius a
Diese Kreise schneiden sich in den Berührungspunkten T1,T2
der Tangentialebene.
BRAVO !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1136
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 18:28: |
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Hi megamath,
ich hoffe du bist nicht nackt durch die Strassen gelaufen! Frei nach Archimedes...
Besten Dank für deine Lösungen! An Abkürzungen hab ich gar nicht gedacht, das vereinfacht die Aufgabe natürlich, es entstehen jedenfalls keine "Monsterterme"...
mfg |
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