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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3532 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 12:13: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 223 hat es in sich! Die Hauptrolle spielt wieder der Torus aus der Aufgabe LF 200, Koordinatengleichung: [x^2+y^2+z^2+a^2 – r^2]^2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) = 0 Parameterdarstellung: x = (a + r cos u ) cos v y = (a + r cos u ) sin v z = r sin u In der (x,z)-Ebene y = 0 liegen die beiden Kreise k1x - a)^2 + z^2 = r^2 und k2x+ a)^2 + z^2 = r^2, welche die Rolle von Meridiankurven des Torus übernehmen. Nun betrachten wir eine INNERE gemeinsamen Tangente der Kreise k1 und k2;die Berührungspunkte seien T1 auf k1, T2 auf k2. Die Gerade g = T1 T2 und die y-Achse spannen eine Ebene V auf. Die Ebene V berührt den Torus in den Punkten T1 und T2 und heißt dementsprechend „doppelt berührende Tangentialebene“. Aufgabe Man beweise, dass die Ebene V den Torus in zwei Kreisen schneidet; es sind dies die so genannten Kreise von Villarceau. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3534 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 15:27: |
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Es folgt ein Lösungshinweis. Der Winkel zwischen g und der x - Achse sei phi. Dann gilt sin (phi ) = r/a. Wir führen eine Koordinatentransformation durch: Neues rechwinkliges Koordinatensystem X,Y,Z (Basiseinheitsvektoren I,J,K) mit demselben Nullpunkt und folgender Spezifikationen: Die (X,Y)-Ebene fällt mit der Tangentialebene zusammen: I = {cos(phi) ; 0 ; sin(phi} etc. In der mit den neuen Koordinaten angeschriebenen Gleichung des Torus wird Z = 0 gesetzt und damit der Schnitt mit der Tangentialebene erzeugt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1133 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 22:45: |
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Hi megamath, ich habs mal rein analytisch versucht: Kann es sein, das die gesuchte Ebene V: r x - sqrt(a^2-r^2)z = 0 lautet?? Kann ich hiermit rechnen? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3535 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 07:07: |
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Hi Ferdi Die von Dir angegebene Gleichung der Ebene V ist richtig! Ich habe in meinem letzten Statement den Winkel phi zwischen g und der x - Achse eingeführt und sin (phi ) = r/a notiert. Die Gleichung der Ebene V lautet demnach z = m x mit m = tan (phi). Wertet man das aus, so entsteht r x - sqrt(a^2-r^2)z = 0 als Gleichung der Ebene V. Vielleicht kann man damit erfolgreich weiterfahren! Beachte dabei, dass die Gleichung der Kreise von Villarceau zunächst in der Form einer Gleichung vierten Grades erscheint, die man noch in zwei Gleichungen zweiten Grades zerlegen muss. Dies ist übrigens auch bei meiner Methode der Orthogonaltransformation der Fall. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3536 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 07:42: |
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Hi allerseits Es folgt ein weiterer Lösungshinweis als Fortsetzung meiner früheren Hinweise. Als Basiseinheitsvektoren I,J,K des neuen (X,Y,Z)-Koordinatensystems verwenden wir: I = {cos(phi) ; 0 ; sin(phi} J = {0 ; 1 ; 0} K= {- sin (phi); 0; cos(phi)} J ist trivialerweise richtig, K ergibt sich aus der Anschauung oder als Vektorprodukt I x J Kurzum: Wir haben die gesuchte orthogonale Matrix M in Miss Marple – Schreibweise: M = [[cos(phi),0,sin(phi)],[0,1,0],[-sin(phi),0,cos(phi)]] Daraus entnehmen wir die Transformation „alte Koordinaten durch neue“: x = X cos (phi) – Z sin(phi) y = Y z = X sin(phi) + Z cos(phi) Da wir schließlich die Flache mit der X,Y-Ebene schneiden wollen, setzen wir prophylaktisch schon jetzt Z = 0, bevor wir in die Torusgleichung einsetzen. Man verwende also die einfachen Relationen: x = X cos (phi) y = Y z = X sin(phi) Guten Erfolg wünscht H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1134 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 13:10: |
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Hi megamath, ich dachte die Eliminierung von z würde helfen, also z = r x / sqrt(a^2-r^2) , aber mir gelingt es nicht den entstehenden Term umzuformen! Anschaulich ist mir die Sache klar, aber dieser Term, andem ich jetzt schon drei Stunden rumbastele treibt mich in den Wahnsinn... Ich habe mal ein wenig geschaut, stammt diese Aufgabe aus dem Buch : "Théorème sur le tore" von Villarceau aus dem Jahre 1848? Mich würde es reizen mal so ein Original zu lesen, mein Französisch müsste dazu eigentlich reichen... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3537 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 15:25: |
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Hi Ferdi Es ist natürlich nicht der Zweck der Übung, Dich zu irritieren. Ich bin mit der Rechnung auch noch nicht ganz fertig, lasse mich aber grundsätzlich nicht fertig machen. Ich versuche, noch heute das Ergebnis ins Forum stellen zu können. Die Aufgabe und Fragmente der Lösung finden sich in meinen älteren persönlichen Notizen. Originalarbeiten von Villarceau würden mich allerdings interessieren. Hast Du Teile davon? Jetzt geht es an die Weiterarbeit ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3538 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 15:45: |
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Hi allerseits, Abschluss der Aufgabe LF 223, 1.Teil Wir setzen x = X cos (phi) y = Y z = X sin(phi) in die Torusgleichung [x^2+y^2+z^2+a^2 – r^2]^2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) = 0 ein; es kommt: [X^2+Y^2+a^2 – r^2]^2 – 4 a^2[X^2 (cos (phi))^2 + Y^2] = 0 Für (cos (phi) )^2 schreiben wir (cos (phi) ) ^ 2 = (a^2 - r^2) / a^2. Es entsteht: (X^2+Y^2+a^2 – r^2)^2 – 4 (a^2 – r^2) X^2 – 4 a^2 Y^2 = 0 Fortsetzung folgt MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1135 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 16:25: |
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Hi megamath, ich habe leider keinen Zugang zu original Literatur, von keinem großen Mathematiker, ich fand nur einen Hinweis zu diesem Buch, als ich mal im Netz nach Villarceau suchte. Ich dachte, das du es vielleicht kennst...aber wenn du es in deinen Unterlagen stehen hast, ok! Leider scheint heute sowas gar nicht mehr vermittelt zu werden, solche schönen Sachen! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3539 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 17:53: |
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Hi Ferdi Heureka, ich hab´s ! Zuletzt hatten wir die Gleichung (X^2+Y^2+a^2 – r^2)^2 – 4 (a^2 – r^2) X^2 – 4 a^2 Y^2 = 0 Wir subtrahieren den Term 4 (a^2 - r^2) Y^2 und addieren ihn sofort wieder. Dank dieser Manipulation entsteht die Gleichung (X^2+Y^2+a^2 – r^2)^2 –4(a^2 – r^2) (X^2 +Y^2) – 4 r^2 Y^2 = 0 Jetz verwenden wir die Abkürzungen X^2+Y^2 = u a^2 - r^2 = v Die letzte Gleichung lautet dann (u+v)^2 - 4 u v - 4 r^2 Y^2 = 0 oder (u – v ) ^ 2 – 4 r^2 Y^2 = 0 Dies lässt sich in Faktoren zerlegen wie folgt: (u – v + 2 r Y) * ( u – v - 2 r Y ) = 0 oder mit den ursprünglichen Bezeichnungen: [X^2+Y^2 – a^2 + r^2 + 2 r Y] [X^2+Y^2 – a^2 + r^2 - 2 r Y] = 0 oder [X^2+ (Y + r)^2 – a^2 ] [X^2+ (Y- r)^2 – a^2 ] = 0 Es liegen zwei Kreise in der (X,Y)-Ebene vor. Erster Kreis c1: Mittelpunkt M1(0/-r) auf der Y-achse, Radius a Zweiter Kreis c2: Mittelpunkt M2(0/ r) auf der Y-achse, Radius a Diese Kreise schneiden sich in den Berührungspunkten T1,T2 der Tangentialebene. BRAVO ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1136 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 18:28: |
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Hi megamath, ich hoffe du bist nicht nackt durch die Strassen gelaufen! Frei nach Archimedes... Besten Dank für deine Lösungen! An Abkürzungen hab ich gar nicht gedacht, das vereinfacht die Aufgabe natürlich, es entstehen jedenfalls keine "Monsterterme"... mfg |
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