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Lockere Folge 156 : Variable Kugeltan...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3279
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 11:09:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Es folgt die Aufgabe LF 156.

Sie lautet
Eine Gerade g geht durch den festen Punkt A(0/0/a);
ein Richtungsvektor m mit Betrag 1 von g lautet
{u;v;w}.
Welcher Bedingung müssen u,v,w genügen, wenn g
die Kugel x^2+ y^2 + z^2 = 2 a x berührt?
Die Gerade g schneidet die (x,y)-Ebene im Punkt P.
Ermittle die Gleichung der Orstkurve von P für alle
möglichen Lagen von g. Analysiere diese Kurve.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1021
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 13:42:   Beitrag drucken

Hi megamath,

soll die gesuchte Relation

v^2 + 2uw = 0 sein ?

Dies erhalte ich wenn ich die Gerade

x = tu , y = tv , z = (a + tw)

betrachte und diese zum Schnitt mit der Kugel bringe, und dann fordere, das die quadratische Gleichung in t nur eine Lösung hat, also ihre Diskriminante 0 setze!

x^2 + y^2 + z^2 = 2ax

(tu)^2 + (tv)^2 + (a + tw)^2 = 2atu

t^2(u^2+v^2+w^2) + t(2aw-2au) + a^2 = 0

dank |m|=1, also u^2+v^2+w^2 = 1

t^2 + t(2aw - 2au) + a^2 = 0

Diskriminante:

(2aw - 2au)^2 - 4a^2 = 0

w^2 - 2wu + u^2 -1 = 0

mit w^2 + u^2 = 1 - v^2

v^2 + 2wu = 0

Dasselbe Ergebniss erhalte ich, wenn ich fordere, das der Punkt M (a/0/0) von g den Abstand a hat! Mit der Formel |MQ x m| wobei Q einen beliebigen Punkt der Geraden beschreibt!

mfg
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1022
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 14:11:   Beitrag drucken

Hi,

bei b)

P ( - ua/w | -va/w | 0 )

Nur wie soll hier alle möglichen Lage verstanden werden? Soll man alle Parameter eliminieren? Einen kleinen Tipp zum Jahreswechsel?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3281
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 15:28:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Deine Ausführungen sind alle in bester Ordnung,
insbesondere auch die Relation mit den Variablen u,v,w.

Den kleinen Tipp zum Jahreswechsel gebe ich Dir gerne.
Meine Formulierung im Aufgabentext ist nicht klar genug.
Gesucht wir die Schnittkurve des Tangentenkegels, Spitze A,
mit der (x,y)-Ebene.
Die Anschauung besagt, dass eine Parabel entstehen muss.
Eliminiere die Parameter und berechne y^2 = F(x,a).

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1024
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:13:   Beitrag drucken

Hi megmath,

mir ist es nicht gelungen! Es bleibt immer ein Paramter u, v oder w zuviel übrig! Ich wundere mich, die Gleichungen sehen so schön einfach aus, aber sie haben es in sich.

Leider kan ich das Rätsel dieses Jahr nicht mehr lösen, da ich jetzt zu einer Festivität zu Ehren des Jahres 2004 gehen werde!

Ich wünsche dir und allen anderen ein guten Rutsch! Feiert schön!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3284
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:21:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Das macht alles nichts !
Wir wollen das morgen,also im nächstem Jahr, klären.
Auch Dir gelten meine besten Neujahrswünsche.
Es bleibt viel zu tun im neuen Jahr.

Mit herzlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 745
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 21:46:   Beitrag drucken

Hallo,

Die Gerade

g : (x,y,z) = (0,0,a)+t(u,v,w)

tangiert die gegebene Kugel genau dann,
wenn die Diskriminante der quadratischen
Gleichung

t2 - 2a(u-w)t + a2 = 0

verschwindet d.h.:

(u-w)2 = 1 <=> 2uw+v2 = 0.

g durchstösst die (x,y)-Ebene in

P = (- au/w , - av/w) ,

im Falle der Berührung mit der Kugel also in
P = (x,h) mit

x = 2a (u/v)2 , h = 2a (u/v).

Es folgt

h2 = 2a x.

Die gesuchte Kurve ist somit eine Ursprungsparabel.


Das war's endgültig für 2003.

Beste Wünsche für 2004 !
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3286
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 23:13:   Beitrag drucken

Hi Orion

Vielen Dank für Deine Bemühungen und meine besten Wünsche zum neuen Jahr!

H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3287
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 11:00:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,



Es ist tatsächlich eine crux, die Parameter u,v,w zu eliminieren
Wer a sagt muss auch u,v,w verkraften können !
Wir haben, wie es sein muss, für die drei Parameter u,v,w
vier Gleichungen zur Verfügung:
x = - a u / w
y = - a v / w
v^2 / w = - 2 u
u^2+v^2+w^2 = 1

Mit einer lustigen Rechnung führe ich Dir die Elimination
der Parameter vor, dabei benötige ich die vierte Gleichung nicht.
Die Rechnung spricht für sich, daher gibt es keine
weiteren Kommentare.
y^2 = a^2 v^2 / w^2 = [- a u / w] [ - a v^2 / (w u)] =
[- a u / w] [- a/u] [v^2 / w] = x [- a/u] [- 2 u ] = 2 a x


MfG
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1025
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 11:49:   Beitrag drucken

Hi,

Frohes neues Jahr und besten Dank für eure Lösungen!

mfg

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