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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3282 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 15:58: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 157 Es gibt unendlich viele Kugeln, welche durch die Punkte A(0/0/2), B(2/0/1) gehen und die (x.y)-Ebene berühren. Man ermittle die Ortskurve der Berührungspunkte T dieser Kugeln in der (x,y)-Ebene. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1023 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:08: |
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Hi megamath, die Ortskurve müsste ein Kreis sein! Kugel: (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2 K soll die die xy-Ebene berühren! => M muss zu z = 0 den Abstandt r haben! ==> c = r (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = c^2 A und B sollen auf der Kugel liegen: A: a^2 + b^2 + (2-c)^2 = c^2 B: (2-a)^2 + b^2 + (1-c)^2 = c^2 Sei T (a | b) nun der Berührpunkt in der xy-Ebene, ich eliminiere c aus A und B und erhalte: a^2 - 8a + b^2 - 10 = 0 oder (a-4)^2 + b^2 = 10 Einen Kreis mit Mittelpunkt M ( 4 | 0 ) und Radius r = sqrt(10) ! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3283 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:15: |
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Hi Ferdi, Das ist alles richtig, bravo ! Mfg H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3285 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 18:18: |
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Hi allerseits Eine Kurzlösung der Aufgabe LF 157 geht so: Ich schneide die Gerade AB im Punkt S(4/0/0) mit der (x,y)-Ebene und ermittle die Potenz PI dieses Punktes bezüglich einer Kugel, die durch A und B geht. Es ist PI(S) = SA*SB = ST^2 Es gilt: SA = sqrt(20), SB = sqrt(5), also PI(S) = sqrt(100) = 10, somit ST = sqrt(10) Dies ist aber gerade der Radius des Ortskreises; der Mittelpunkt ist der feste Punkt S. Voilà ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1026 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 11:49: |
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Hi megamath, deine Lösung ist auch nicht schlecht! Ich wundere mich immer wieder mit welcher Vielfalt man an Aufgaben herangehen kann! mfg |