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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3272 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 12:10: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 155 ist eine Zusatzaufgabe zu LF 154 ; sie kann ohne grössere Rechnung durch scharfes Hinsehen und intensives Nachdenken gelöst werden! Es sind dieselben zwei Kugeln k1, k2 gegeben: k1: x^2 + y^2 + z^2 + 2 a x + p = 0 k2: x^2 + y^2 + z^2 + 2 b y + q = 0 a,b,p,q sind gegebene Konstanten mit p>0, q>0. Eine Gerade g geht durch den Nullpunkt O und berührt sowohl k1 als auch k2. Welchen Abstand D haben die beiden Berührungspunkte? MfG H.R.Moser,megamath
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Aktuar (Aktuar)
Mitglied Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 48 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 17:37: |
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Hallo Megamath, der Abstand der Berührpunkte ergibt sich als der Betrag der Differenz der zugehörigen Lösungsvektoren. Mit den Bezeichnungen aus Aufgabe 154 wird damit der Abstand gleich dem Betrag des Vektors k * (-p/a,y1,z1) - (-p/a,y1,z1) = (k-1)*(-p/a,y1,z1). Aus k = Wurzel (q/p) und (Kr1) folgt dann schließlich k = Betrag [Wurzel(q) - Wurzel(p)]. Ich gebe zu, das war weniger scharfes Hinsehen und intensives Nachdenken als Ausnutzen der Erkenntnisse, die ich im Rahmen der Lösung von Aufgabe 154 sowieso schon gewonnen habe. Ich hoffe, du kannst es mir nachsehen. Viele Grüße aus dem ungemütlichen Hamburg in die (weiße ?) Schweiz Michael |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3274 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 19:27: |
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Hi Michael Ich bin Dir dankbar, dass Du diesen Lösungsweg gezeigt hast; es ist derjenige, auf den man zuerst kommt; der reguläre so zu sagen, die grüne Piste. Die rote geht so: Wir erinnern uns, und Ferdi tut das gewiss auch, dass die linke Seite der auf null gebrachten und normierten Kreisgleichung die Potenz des Punktes P(x/y/z) bedeutet. Demnach hat der Nullpunkt O(0/0/0) bezüglich k1 die Potenz F1 = p und bezüglich k2 die Potenz F2 = q. Die entsprechenden Tangentenabschnitte von O aus an die Kugeln sind sqrt(F1) und sqrt(F2); damit liegt die Lösung auf dem Präsentierteller. Herzliche Grüsse aus dem auch trüben CH-Mittelland nach Hamburg ! H.R.Moser,megamath
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