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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3279 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 11:09: |
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Hi allerseits Es folgt die Aufgabe LF 156. Sie lautet Eine Gerade g geht durch den festen Punkt A(0/0/a); ein Richtungsvektor m mit Betrag 1 von g lautet {u;v;w}. Welcher Bedingung müssen u,v,w genügen, wenn g die Kugel x^2+ y^2 + z^2 = 2 a x berührt? Die Gerade g schneidet die (x,y)-Ebene im Punkt P. Ermittle die Gleichung der Orstkurve von P für alle möglichen Lagen von g. Analysiere diese Kurve. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1021 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 13:42: |
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Hi megamath, soll die gesuchte Relation v^2 + 2uw = 0 sein ? Dies erhalte ich wenn ich die Gerade x = tu , y = tv , z = (a + tw) betrachte und diese zum Schnitt mit der Kugel bringe, und dann fordere, das die quadratische Gleichung in t nur eine Lösung hat, also ihre Diskriminante 0 setze! x^2 + y^2 + z^2 = 2ax (tu)^2 + (tv)^2 + (a + tw)^2 = 2atu t^2(u^2+v^2+w^2) + t(2aw-2au) + a^2 = 0 dank |m|=1, also u^2+v^2+w^2 = 1 t^2 + t(2aw - 2au) + a^2 = 0 Diskriminante: (2aw - 2au)^2 - 4a^2 = 0 w^2 - 2wu + u^2 -1 = 0 mit w^2 + u^2 = 1 - v^2 v^2 + 2wu = 0 Dasselbe Ergebniss erhalte ich, wenn ich fordere, das der Punkt M (a/0/0) von g den Abstand a hat! Mit der Formel |MQ x m| wobei Q einen beliebigen Punkt der Geraden beschreibt! mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1022 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 14:11: |
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Hi, bei b) P ( - ua/w | -va/w | 0 ) Nur wie soll hier alle möglichen Lage verstanden werden? Soll man alle Parameter eliminieren? Einen kleinen Tipp zum Jahreswechsel? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3281 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 15:28: |
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Hi Ferdi, Deine Ausführungen sind alle in bester Ordnung, insbesondere auch die Relation mit den Variablen u,v,w. Den kleinen Tipp zum Jahreswechsel gebe ich Dir gerne. Meine Formulierung im Aufgabentext ist nicht klar genug. Gesucht wir die Schnittkurve des Tangentenkegels, Spitze A, mit der (x,y)-Ebene. Die Anschauung besagt, dass eine Parabel entstehen muss. Eliminiere die Parameter und berechne y^2 = F(x,a). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1024 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:13: |
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Hi megmath, mir ist es nicht gelungen! Es bleibt immer ein Paramter u, v oder w zuviel übrig! Ich wundere mich, die Gleichungen sehen so schön einfach aus, aber sie haben es in sich. Leider kan ich das Rätsel dieses Jahr nicht mehr lösen, da ich jetzt zu einer Festivität zu Ehren des Jahres 2004 gehen werde! Ich wünsche dir und allen anderen ein guten Rutsch! Feiert schön! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3284 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:21: |
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Hi Ferdi Das macht alles nichts ! Wir wollen das morgen,also im nächstem Jahr, klären. Auch Dir gelten meine besten Neujahrswünsche. Es bleibt viel zu tun im neuen Jahr. Mit herzlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 745 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 21:46: |
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Hallo, Die Gerade g : (x,y,z) = (0,0,a)+t(u,v,w) tangiert die gegebene Kugel genau dann, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung t2 - 2a(u-w)t + a2 = 0 verschwindet d.h.: (u-w)2 = 1 <=> 2uw+v2 = 0. g durchstösst die (x,y)-Ebene in P = (- au/w , - av/w) , im Falle der Berührung mit der Kugel also in P = (x,h) mit x = 2a (u/v)2 , h = 2a (u/v). Es folgt h2 = 2a x. Die gesuchte Kurve ist somit eine Ursprungsparabel. Das war's endgültig für 2003. Beste Wünsche für 2004 ! mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3286 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 23:13: |
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Hi Orion Vielen Dank für Deine Bemühungen und meine besten Wünsche zum neuen Jahr! H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3287 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 11:00: |
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Hi Ferdi, Es ist tatsächlich eine crux, die Parameter u,v,w zu eliminieren Wer a sagt muss auch u,v,w verkraften können ! Wir haben, wie es sein muss, für die drei Parameter u,v,w vier Gleichungen zur Verfügung: x = - a u / w y = - a v / w v^2 / w = - 2 u u^2+v^2+w^2 = 1 Mit einer lustigen Rechnung führe ich Dir die Elimination der Parameter vor, dabei benötige ich die vierte Gleichung nicht. Die Rechnung spricht für sich, daher gibt es keine weiteren Kommentare. y^2 = a^2 v^2 / w^2 = [- a u / w] [ - a v^2 / (w u)] = [- a u / w] [- a/u] [v^2 / w] = x [- a/u] [- 2 u ] = 2 a x MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1025 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 11:49: |
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Hi, Frohes neues Jahr und besten Dank für eure Lösungen! mfg |
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