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Nougatmaus (Nougatmaus)

Junior Mitglied Benutzername: Nougatmaus
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 16:37: |
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Bestimmen sie alle Polynome 5. Grades mit reellen Koeffizienten mit Nullstellen an den Stellen 0, i und i+1. |
   
Megamath (Megamath)

Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3041 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 17:07: |
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Hi Nougatmaus,
Mit i ist auch die konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle,mit 1+i auch 1 -i. Demnach kannst Du das Polynom so ansetzen: P(x) = x(x-i)(x+i)(x -1-i)(x-1+i) Löse alle Klammern und multipliziere alle Koeffizienten nch mit a (nicht null). MfG H.R.Moser,megamath |
   
Nougatmaus (Nougatmaus)

Junior Mitglied Benutzername: Nougatmaus
Nummer des Beitrags: 11 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 17:23: |
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Du meinst ich soll noch P(x) mit a multiplizieren. Warum mit a? Dann ausklammern und fertig? Danke dir! |
   
Martin243 (Martin243)

Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 876 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 18:11: |
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Hi! Ja, du sollst mit a multiplizieren, weil es unendlich viele solcher Polynome gibt, die sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, der aber die Nullstellen nicht beeinflusst. Dass a dabei nicht 0 werden darf, versteht sich von selbst, denn dann hätten wir ja eine Nullfunktion und keine Polynom 5. Grades. MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)

Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3044 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 22:38: |
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Hi Nougatmaus
Ich nehme Deine Aufgabe nochmals in Angriff und vervollständige die Lösung. Mit i ist auch die konjugiert komplexe Zahl -i eine Nullstelle, mit 1+i auch die dazu gehörige konjugiert komplexe Zahl, also 1 - i. Demnach kannst Du das Polynom in Produktform so ansetzen: P(x) = x(x-i)(x+i)[x –(1+i)][x – (1- i)] = x(x-i)(x+i)(x -1-i)(x-1+i) Empfehlung Fasse beim Klammerlösen die Klammern paarweise zusammen. Es kommt: P(x) = x (x^2+1) (x^2 – 2 x +2) Also: P(x) = x^5 – 2 x^4 + 3 x^3 – 2 x^2 + 2 x Du kannst eine kleine Probe machen: die Summe aller Nullstellen ist nach Vieta gleich dem entgegengesetzt gleichen Wert des Koeffizienten der zweithöchsten Potenz, hier von x^4: S = 0 + i + (- i ) + (1 + i) + (1 – i) = 2; stimmt ! Allgemeiner entsteht das Polynom P*(x) = a * ( x^5 – 2 x^4 + 3 x^3 – 2 x^2 + 2 x ),welches dieselben Nullstellen hat wie P(x). MfG H.R.Moser,megamath
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