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Polynome 5. Grades?

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Nougatmaus (Nougatmaus)
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Junior Mitglied
Benutzername: Nougatmaus

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 16:37:   Beitrag drucken

Bestimmen sie alle Polynome 5. Grades mit reellen Koeffizienten mit Nullstellen an den Stellen 0, i und i+1.
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3041
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 17:07:   Beitrag drucken

Hi Nougatmaus,

Mit i ist auch die konjugiert komplexe Zahl eine
Nullstelle,mit 1+i auch 1 -i.
Demnach kannst Du das Polynom so ansetzen:
P(x) = x(x-i)(x+i)(x -1-i)(x-1+i)
Löse alle Klammern und multipliziere alle Koeffizienten nch mit a (nicht null).

MfG
H.R.Moser,megamath
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Nougatmaus (Nougatmaus)
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Junior Mitglied
Benutzername: Nougatmaus

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 17:23:   Beitrag drucken

Du meinst ich soll noch P(x) mit a multiplizieren. Warum mit a? Dann ausklammern und fertig?

Danke dir!
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 876
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 18:11:   Beitrag drucken

Hi!

Ja, du sollst mit a multiplizieren, weil es unendlich viele solcher Polynome gibt, die sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, der aber die Nullstellen nicht beeinflusst.
Dass a dabei nicht 0 werden darf, versteht sich von selbst, denn dann hätten wir ja eine Nullfunktion und keine Polynom 5. Grades.


MfG
Martin
________
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3044
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 22:38:   Beitrag drucken

Hi Nougatmaus



Ich nehme Deine Aufgabe nochmals in Angriff und vervollständige die Lösung.
Mit i ist auch die konjugiert komplexe Zahl -i eine Nullstelle,
mit 1+i auch die dazu gehörige konjugiert komplexe Zahl, also 1 - i.
Demnach kannst Du das Polynom in Produktform so ansetzen:
P(x) = x(x-i)(x+i)[x –(1+i)][x – (1- i)] = x(x-i)(x+i)(x -1-i)(x-1+i)
Empfehlung
Fasse beim Klammerlösen die Klammern paarweise zusammen.
Es kommt:
P(x) = x (x^2+1) (x^2 – 2 x +2)
Also:
P(x) = x^5 – 2 x^4 + 3 x^3 – 2 x^2 + 2 x

Du kannst eine kleine Probe machen:
die Summe aller Nullstellen ist nach Vieta gleich dem entgegengesetzt
gleichen Wert des Koeffizienten der zweithöchsten Potenz, hier von x^4:
S = 0 + i + (- i ) + (1 + i) + (1 – i) = 2; stimmt !

Allgemeiner entsteht das Polynom
P*(x) = a * ( x^5 – 2 x^4 + 3 x^3 – 2 x^2 + 2 x ),welches dieselben
Nullstellen hat wie P(x).


MfG
H.R.Moser,megamath

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