Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2814 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 12:07: |
|
Hi allerseits, In der Aufgabe LF 63 ist die Gleichung der Evolute der Parabel y ^ 2 = 2 p x zu berechnen. Man vergleiche das Resultat mit dem Ergebnis der Aufgabe LF 62. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 912 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 13:45: |
|
Hi megamath, nach längere Pause [LKW Führerschein ist eine ganz schöne Herrausforderung] melde ich mich auch mal wieder, mit einem verblüffendem Ergebniss! Die Evolute der Parabel ist wieder die Neilsche Parabel! Es war eine ziemlich Rechnerei, daher hier nur mein Lösungsvorschlag: Ich habe die Parabel auf die y=f(x) gebracht, dann erhalte ich die Evolute in der Parameter gestalt: x = t - [{f'(t)*(1+f'(t)^2)}/(f''(t))] y = f(t) + [(1+f'(t)^2)/(f''(t)] da die Evolute der Ort aller Krümmungskreis Mittelpunkte einer Kurve ist. Hierdrin nur noch t eliminieren und fertig! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2815 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 14:13: |
|
Hi Ferdi, M ist eine bekömmliche Urlaubsbeschäftigung! Danke für Deine Lösung! Der in den Aufgaben LF 62 und 63 involvierte Satz gilt allgemein: Die Evolute einer Kurve ist die Einhüllende aller ihrer Normalen. Ich werde eine ausführliche Lösung zu Lernzwecken heute noch ins Netz stellen Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2816 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 15:16: |
|
Hi allerseits Es soll die Evolute, d.h. die Ortskurve der Krümmungszentren, für die Parabel rechnerisch ermittelt werden. Die Parabel sei durch die Gleichung y ^ 2 = 2 p x gegeben. Als Evolute entsteht die so genannte Neilsche Parabel mit der Gleichung Y ^ 2 = 8 / (27 p ) * (X - p ) ^3 ; dabei sind mit X und Y die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes bezeichnet. Diese Kurve schneidet die gegebene Parabel im Punkt S( 4*p / 2 * p* wurzel(2)) und hat im Punkt R(p/0) eine Spitze. Wir werden das entsprechende Ergebnis mittels der Parameterdarstellung x = 1/(2p) * t^2 , y = t herleiten. Wir benötigen dazu die ersten und zweiten Ableitungen der Funktionen x = x(t), y = y(t), die folgendermaßen bezeichnet werden sollen : erste Ableitungen x° (t), y° (t) , zweite Ableitungen x°°(t),y°°(t). also: x°(t) = 1/p t , y°(t) = 1 ,x°°(t) = 1/p , y°°(t) =0. Wir benötigen weiter: u = x° * y°° - x°° * y° = - 1/p ; v = (x° ) ^ 2 + (y° ) ^ 2 = (1/p^2) t ^2 + 1 . Die Koordinaten X, Y des Krümmungszentrums M für den Punkt P(x/y) auf der Kurve sind: X = x - y° * v / u = 3 / (2p) * t ^ 2 +p Y = y + x° * v / u = - (1/p^2) * t ^ 3 Damit haben wir bereits eine Parameterdarstellung der gesuchten Ortskurve gewonnen. Eliminiert man den Parameter t, so erhält man die Koordinatengleichung der Ortskurve, nämlich: Y ^ 2 = 16 / 27 * ( X - p ) ^ 3 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2817 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 15:46: |
|
Hi allerseits Als Zugabe : Man ermittle die Evolute der Kurve y^2 = 2 p x - x^2 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 271 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 16:56: |
|
Hi Megamath, Ich habe zunächst noch die erste Aufgabe nachgerechnet... In Parameterdarstellung erhalte ich gleiche Resultate,allerdings wenn ich t eliminiere: Y^2=8/(27p)*(X-p)^3 Ich habs jetzt mehrfach überprüft,hast Du Dich vielleicht verrechnet? Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2818 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 17:24: |
|
Hi Ferdi, Dein Resultat ist richtig ! Bravo! Bei mir hat sich ein Tippfehler eingeschlichen; Entschuldigung! Bitte,nicht zu viel Zeit in die Zusatzaufgabe investieren. In ihr ist ein Gag eingebaut MfG H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2819 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 17:30: |
|
Hi Olaf, auch bei der Anrede erschien ein Tippfehler,hihi. Was ist los ? mfg H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 272 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 17:38: |
|
Gruß,Olaf |