| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2812
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 09:38: | 
|
Hi allerseits,
In den nächsten LF-Aufgaben kommen kleine
Delikatessen aus der Differentialgeometrie
der ebenen Kurven.
In der Aufgabe LF 62 soll die Einhüllende der
Schar aller Kurvennormalen der Parabel
y ^ 2 = 2 x ermittelt werden.
Ferner soll darüber meditiert werden,
welche andere Deutung bezüglich
der gegebenen Parabel die so ermittelte
Enveloppe zulässt.
Die Antwort auf die letzte Frage wird
Inhalt der Aufgabe LF 63 sein!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 659
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 10:56: |
|
Hallo,
Die Gleichung der Kurvennormalen im variablen Punkt
P=(u,v) lautet
v(x-u) + y-v = 0
also wegen u=v2/2 :
(1) F(x,y,v) := vx+y-v3/2-v = 0 ==>
(2) Fv(x,y,v) = x - (3/2)v2-1 = 0.
Aus (1),(2) folgt v = - y1/3. Dies in (2) eingesetzt
ergibt die gesuchte Enveloppengleichung
y2 = (8/27)(1-x)3 ; x £ 1.
mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2813
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 11:55: |
|
Hi Orion
Besten Dank für Deine prompte Lösung !
Die Aufgabe ist allerdings ein Eldorado für
Vorzeichenfehler;ich weiß das aus eigener Erfahrung.
Für den allgemeineren Fall y^2 = 2 p x der Parabel
mit p als Parameter lautet die Gleichung der
Enveloppe:
y^2 = 8/(27 p) (x – p)^3 mit x > = p
Die Kurve heißt Neilsche Parabel.
Sie hat in S(p/0) eine Spitze und schneidet die
Parabel in den symmetrisch zur x-Achse
liegenden Punkten E1,2 (4p /…).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 737
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 23:40: |
|
Hi,
ich denke, dass man Envelope in unserem Sprachraum nur mit einem "p" schreiben sollte, obwohl offensichtlich beide Schreibweisen vorkommen; richtig dürfte (zumindest für unseren Sprachraum) aber nur die Version mit einem "p" sein, die ich nebenbei auch nur so gelernt habe.
Google liefert auf deutschen Seiten 17000 Treffer bei "envelope", aber nur etwa ein Zehntel davon beim doppel "p", und weist ausserdem auf die richtige Schreibweise hin ...., auf englischen Seiten ist das Verhältnis noch deutlicher.
Gr
mYthos
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 660
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 08:49: |
|
Hallo Mythos,
Mein alter Duden (Fremdwörterbuch 1966)
notiert "Enveloppe", ebenso wie Bronstein's
Taschenbuch der Mathematik. So - nämlich
französisch,und nicht englisch (envelope) - spricht man es ja auch aus. Vielleicht sollte
man überhaupt der fortschreitenden Prädominanz des Englischen hin und wieder
etwas Widerstand entgegensetzen.
Beim Einsetzen von v = - y1/3 in (2)
(siehe meinen 1. Beitrag) gab es einen
Vorzeichenfehler, sodass das Ergebnis
korrekt
y2 = (8/27)(x-1)3 ; x >= 1
lautet.
mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2822
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 13:17: |
|
Hallo Orion,
Deine Lösung ist sehr elegant und führt schnell
zum Ziel; sie ist gut nachvollziehbar.
Nur scheinen die Vorzeichen eine Crux für
uns Aufgabensteller und - löser zu sein!
Aus meinem Resultat
y = x^2 / (2q) + ½ q erkennt man sofort
den Typus und die Art der Enveloppe.
Es ist eine Parabel mit der y-Achse als Achse.
Der Punkt S(0 /½ q) ist der Scheitel;
der Punkt Q(0/q) ist der Brennpunkt,
q der Parameter der Parabel.
Nicht zuletzt:
die x-Achse ist die Leitgerade, Direktrix
oder directrice en français.
Das vorliegende Resultat könnte man auch mit
geometrischen Eigenschaften der Parabel direkt
herleiten, auf analoge Weise, wie ich es in der
Aufgabe LF 64 vorschlage.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
