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Lockere Folge 63 :Evolute der Parabel:

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2814
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 12:07:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Aufgabe LF 63 ist die Gleichung der Evolute
der Parabel y ^ 2 = 2 p x zu berechnen.
Man vergleiche das Resultat mit dem Ergebnis der
Aufgabe LF 62.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 912
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 13:45:   Beitrag drucken

Hi megamath,

nach längere Pause [LKW Führerschein ist eine ganz schöne Herrausforderung] melde ich mich auch mal wieder, mit einem verblüffendem Ergebniss!

Die Evolute der Parabel ist wieder die Neilsche Parabel!

Es war eine ziemlich Rechnerei, daher hier nur mein Lösungsvorschlag:

Ich habe die Parabel auf die y=f(x) gebracht, dann erhalte ich die Evolute in der Parameter gestalt:

x = t - [{f'(t)*(1+f'(t)^2)}/(f''(t))]
y = f(t) + [(1+f'(t)^2)/(f''(t)]

da die Evolute der Ort aller Krümmungskreis Mittelpunkte einer Kurve ist. Hierdrin nur noch t eliminieren und fertig!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2815
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 14:13:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

M ist eine bekömmliche Urlaubsbeschäftigung!
Danke für Deine Lösung!
Der in den Aufgaben LF 62 und 63 involvierte Satz
gilt allgemein:
Die Evolute einer Kurve ist die Einhüllende aller
ihrer Normalen.

Ich werde eine ausführliche Lösung zu
Lernzwecken heute noch ins Netz stellen

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2816
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 15:16:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es soll die Evolute, d.h. die Ortskurve
der Krümmungszentren, für die Parabel
rechnerisch ermittelt werden.

Die Parabel sei durch die Gleichung
y ^ 2 = 2 p x gegeben. Als Evolute entsteht
die so genannte Neilsche Parabel mit der Gleichung
Y ^ 2 = 8 / (27 p ) * (X - p ) ^3 ; dabei sind mit
X und Y die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes
bezeichnet.
Diese Kurve schneidet die gegebene Parabel im Punkt
S( 4*p / 2 * p* wurzel(2)) und hat im Punkt
R(p/0) eine Spitze.


Wir werden das entsprechende Ergebnis mittels der
Parameterdarstellung
x = 1/(2p) * t^2 , y = t herleiten.

Wir benötigen dazu die ersten und zweiten Ableitungen
der Funktionen x = x(t), y = y(t), die folgendermaßen
bezeichnet werden sollen :
erste Ableitungen x° (t), y° (t) , zweite Ableitungen
x°°(t),y°°(t).
also: x°(t) = 1/p t , y°(t) = 1 ,x°°(t) = 1/p , y°°(t) =0.
Wir benötigen weiter:
u = x° * y°° - x°° * y° = - 1/p ;
v = (x° ) ^ 2 + (y° ) ^ 2 = (1/p^2) t ^2 + 1 .
Die Koordinaten X, Y des Krümmungszentrums M
für den Punkt P(x/y) auf der Kurve sind:
X = x - y° * v / u = 3 / (2p) * t ^ 2 +p
Y = y + x° * v / u = - (1/p^2) * t ^ 3

Damit haben wir bereits eine Parameterdarstellung
der gesuchten Ortskurve gewonnen.
Eliminiert man den Parameter t, so erhält man die
Koordinatengleichung der Ortskurve,
nämlich:
Y ^ 2 = 16 / 27 * ( X - p ) ^ 3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2817
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 15:46:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Als Zugabe :
Man ermittle die Evolute der Kurve
y^2 = 2 p x - x^2

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 271
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 16:56:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ich habe zunächst noch die erste Aufgabe nachgerechnet...

In Parameterdarstellung erhalte ich gleiche Resultate,allerdings wenn ich t eliminiere:

Y^2=8/(27p)*(X-p)^3

Ich habs jetzt mehrfach überprüft,hast Du Dich vielleicht verrechnet?


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2818
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 17:24:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Dein Resultat ist richtig !
Bravo!

Bei mir hat sich ein Tippfehler
eingeschlichen; Entschuldigung!

Bitte,nicht zu viel Zeit in die Zusatzaufgabe investieren.
In ihr ist ein Gag eingebaut

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2819
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 17:30:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

auch bei der Anrede erschien ein Tippfehler,hihi.
Was ist los ?

mfg
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 272
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 17:38:   Beitrag drucken

:-)

Gruß,Olaf

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