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wene
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 15:01: | 
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Soll die Gleichung
f(x,y)=2x^2-2y^2-x+y
auf den Bereich x,y>=0
mit der Nebenbedingung
x+y<=1
lösen
bräuchte es für eine Prüfung am Donnerstag
mfg
Wene |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 09:31: |
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Grauzone |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 09:36: |
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Hallo wene,
f(x,y) = 2x² - 2y² - x + y wobei (x,y) >=0
x+y<=1
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Die Aufgabe sucht Extrema der Funktion z=f(x,y) (x,y)>=0
über einem Gebiet G: x+y <=1
Zunächst ignorieren wir G und bestimmen die Extrema von f indem wir die partiellen Ableitungen = Null setzen.
fx = 4x-1
fy = -4y+1
Das Gleichungssystem:
4x-1=0
-4y+1=0
ergibt: x = 1/4 und y= 1/4
mit f(1/4,1/4) = 0
ist der Extrempukt: S = (1/4, 1/4, 0)
er liegt innerhalb des Gebietes G
weitere Untersuchung zeigt, dass es ein Sattelpunkt ist (das kannst du sicher selbst).
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Jetzt müssen wir noch die Extrema auf den Rändern des gebietes G ermitteln:
G ist ein Dreiecksgebiet in der x-y-Ebene, begrenzt durch die x-Achse (I), die y-Achse (II) und die Gerade y = 1-x (III)
Wir parametrisieren den Rand:
(I):
x=t
y=0
(II):
x=0
y=t
(III):
x=t
y=1-t
für alle 3 Ränder läuft t von 0 bis 1
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RAND I:
in f eingesetzt:
f = 2t²-t = g(t)
g(t) ist also eine Parabel (sie ergibt sich als Projektion in z-Richtung des Randes I auf die Fläche f(x,y).
An den Endpukten (t=0 und t=1) hat g(t) die Werte 0 und 1
Dazwischen ein Minimum bei t= 1/4 von g(1/4) = -1/8
Wir halten fest:
über dem Rand (I) hat f(x,y) folgende Extremwerte:
f(0,0) = 0
f(1,0) = 1
f(1/4,0) = -1/8
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RAND II:
g(t)= -2t²+t
wieder eine Parabel
Endpunkte:
t=0: g(0)=0
t=1: g(1) = -1
bei t= 1/4 liegt ein Max von g(1/4)=1/8
also:
f(0,0)=0
f(0,1)= -1
f(0,1/4) = 1/8
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RAND III:
g(t) = 2t²-2(1-t)²-t+1-t = -1+2t also eine Gerade.
Für die Endpunkte:
g(0) = -1
g(1) = 1
also:
f(0,1) = -1
f(1,0) = 1
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Um nun alle Extremwerte zu überblicken, legen wir eine Tabelle an:
x y f(x,y)
1/4 1/4 0 im Innern von G, Sattelpunkt
0 0 0
1 0 1
1/4 0 -1/8
0 1 -1 globales Minimum
0 1/4 1/8 globales Maximum
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