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wene
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 15:01: |
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Soll die Gleichung f(x,y)=2x^2-2y^2-x+y auf den Bereich x,y>=0 mit der Nebenbedingung x+y<=1 lösen bräuchte es für eine Prüfung am Donnerstag mfg Wene |
Fern
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 09:31: |
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Grauzone |
Fern
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 09:36: |
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Hallo wene, f(x,y) = 2x² - 2y² - x + y wobei (x,y) >=0 x+y<=1 =============== Die Aufgabe sucht Extrema der Funktion z=f(x,y) (x,y)>=0 über einem Gebiet G: x+y <=1 Zunächst ignorieren wir G und bestimmen die Extrema von f indem wir die partiellen Ableitungen = Null setzen. fx = 4x-1 fy = -4y+1 Das Gleichungssystem: 4x-1=0 -4y+1=0 ergibt: x = 1/4 und y= 1/4 mit f(1/4,1/4) = 0 ist der Extrempukt: S = (1/4, 1/4, 0) er liegt innerhalb des Gebietes G weitere Untersuchung zeigt, dass es ein Sattelpunkt ist (das kannst du sicher selbst). =========================================== Jetzt müssen wir noch die Extrema auf den Rändern des gebietes G ermitteln: G ist ein Dreiecksgebiet in der x-y-Ebene, begrenzt durch die x-Achse (I), die y-Achse (II) und die Gerade y = 1-x (III) Wir parametrisieren den Rand: (I): x=t y=0 (II): x=0 y=t (III): x=t y=1-t für alle 3 Ränder läuft t von 0 bis 1 ================= RAND I: in f eingesetzt: f = 2t²-t = g(t) g(t) ist also eine Parabel (sie ergibt sich als Projektion in z-Richtung des Randes I auf die Fläche f(x,y). An den Endpukten (t=0 und t=1) hat g(t) die Werte 0 und 1 Dazwischen ein Minimum bei t= 1/4 von g(1/4) = -1/8 Wir halten fest: über dem Rand (I) hat f(x,y) folgende Extremwerte: f(0,0) = 0 f(1,0) = 1 f(1/4,0) = -1/8 ======================================= RAND II: g(t)= -2t²+t wieder eine Parabel Endpunkte: t=0: g(0)=0 t=1: g(1) = -1 bei t= 1/4 liegt ein Max von g(1/4)=1/8 also: f(0,0)=0 f(0,1)= -1 f(0,1/4) = 1/8 ====================== RAND III: g(t) = 2t²-2(1-t)²-t+1-t = -1+2t also eine Gerade. Für die Endpunkte: g(0) = -1 g(1) = 1 also: f(0,1) = -1 f(1,0) = 1 =================== Um nun alle Extremwerte zu überblicken, legen wir eine Tabelle an:
x y f(x,y) 1/4 1/4 0 im Innern von G, Sattelpunkt 0 0 0 1 0 1 1/4 0 -1/8 0 1 -1 globales Minimum 0 1/4 1/8 globales Maximum =============================================
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