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Beweis x<y und noch einen :-)

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Maria
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 16:25:   Beitrag drucken

Hallo Leute.
Ich sitz hier an einer Aufgabe und weiß nicht , wie ich sie lösen soll.
Wär toll, wenn mir jemand helfen könnte.
zu zeigen:
1)sind x,y>0 und p Element IN, so gilt:
x<y <=> x^p < y^p

2)ist a>=0 und p Element IN, so besitzt die gleichung x^p=a genau eine lösung in IR+ mit 0.

(Anleitung: überlegen sie zunächst, warum es nur ein solches x geben kann.
für a>0 betrachten sie dann die menge M=(z element IR:z>=0, z^p<a)
zeigen sie M ungleich leere menge undn nach oben beschränkt.folgern sie nun, dass x:=supM die gewünschte eigenschaft hat, indem sie die beiden anderen möglichkeiten x^p>a und x^p<a ausschließen.)

Vielen Dank schon mal für eure Bemühungen.

Mfg Maria
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2497
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 17:41:   Beitrag drucken

1)
x < y
x-y < 0

x^p - y^p = (x-y)(x^(p-1)+x^(p-2)y+..y^p) < 0

weil x-y < 0 und wegen x>0, y>0 der 2te Faktor > 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2498
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 18:34:   Beitrag drucken

zu 2 meine ich daß das eigentlich aus 1) folgt
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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maria
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 20:56:   Beitrag drucken

hallo...
ist nett, dass du mir geantwortest hast..aber ich verstehe nicht so ganz was du bei 1) gemacht hast...und wieso ergibt sich 2) so einfach aus 1)?
das soll sie schwerste aufgabe von dem übungszettel sein.
wär nett, wenn du das mir nochmal ausführlicher erklären könntest.
Dank
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2499
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 22:03:   Beitrag drucken

einen kleinen Fehler hatte ich in (1),
ändert aber kaum etwas. Ich hoffe das
folgende, wenn auch nicht viel anders,
hilft.
application/pdfbw
bw.pdf (25.1 k)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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troggy
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 09:38:   Beitrag drucken

Hallo Maria,

ich versuche es 'mal etwas anders (müsste dafür aber auch korrekt sein!):

(mit den von dir genannten Voraussetzungen)

zu 1:
"=>":
x<y => Es existiert a>0 mit y=x+a. Dann gilt
y^p=(x+a)^p; nach dem Binomischen Lehrsatz folgt (x+a)^p = x^p + Rest, wobei der Rest größer ist als Null!
Also gilt x^p < (x+a)^p = y^p

"<=":
Idee: indirekter Beweis
Annahme: (x=y) oder (x>y)
Im ersten Fall (x=y) würde aus x^p < y^p (Voraussetzung) sofort y^p < y^p folgen (Widerspruch!)
Im zweiten Fall (x>y) folgt mit den Überlegungen aus der "Hinrichtung" (s.o.) - wobei die Rollen von x und y einfach vertauscht sind - die Ungleichung x^p > y^p (ebenfalls ein Widerspruch zur Voraussetzung!)

q.e.d.

zu 2:
Diese Aufgabe ist in der Tat viel kniffliger. Sie hier korrekt aufzuschreiben ist wegen der eingeschränkten Formatierung schwierig. (Du findest den Aufgabenteil 2 in dem schönen Buch von Harro Hauser "Lehrbuch der Analysis - Teil 1" auf S. 77/78 [Satz 9.2] (in der 9. Auflage von 1991).
Ich schreibe den Beweis hier dennoch (spare mir aber die am schwersten zu schreibenden Ausdrücke).

Fortsetzung folgt gleich ...
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troggy
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 09:42:   Beitrag drucken

... Fortsetzung1 ...

Als erstes behandle ich die trivalen Fälle a=0 bzw. p=1:
Für a=0 gilt offensichtlich x=0, denn 0^p=0 für alle p; und für p=1 gilt offensichtlich x=a, denn a^1=a für alle a.

Seien also nun a>0 und p>1.

Ich folge der Anleitung, die bei der Aufgabe gegeben wurde:

Die Menge M:={z aus R(reelle Zahlen) mit (z>=0 und z^p<a} ist nicht leer (denn sie enthält Null!) und sie ist nach oben beschränkt: Wegen der Bernoullischen Ungleichung [(1+x)^n > 1+n*x] ist nämlich für jedes y aus M stets y^p < a < 1+p*a < (1+a)^p, woraus (mit dem Aufgabenteil 1) die Ungleichung y < 1+a folgt.
Somit existiert m:=sup M.

Bleibt noch zu zeigen, dass m^p=a ist. Dies lässt sich zeigen, indem die anderen beiden Möglichkeiten (m^p < a) bzw. (m^p > a) auf einen Widerspruch geführt werden.

1. Fall: m^p < a
Aus dem Binomischen Lehrsatz folgt für jedes n aus N: (m+(1/n))<= m^p + R/n , wobei R>0 ein Polynom (in m) vom Grad (p-1) mit Biominalkoeffizienten ist.
Für hinreichend großes n gilt m^p + R/n < a (nach dem "Satz des Eudoxos" - einer anderen Formulierung des Satzes des Archimedes: Zu jedem positiven q gibt es ein natürliches c, so dass 1/c < q . Für alle natürlichen n > c ist dann erst recht 1/n < q.)
Es muss n ja nur so gewählt werden, dass 1/n < (a-m^p)/R ist. (Der Bruch ist positiv!)
Für dieses n ist nun m + 1/n > m und gleichzeitig (m + 1/n)^p < a (wieder Aufgabenteil 1) - Widerspruch zur Supremumseigenschaft von m!

weitere Fortsetzung folgt ...
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troggy
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 09:44:   Beitrag drucken

... Fortsezung2 ...

2. Fall: m^p > a
Mit der Bernoullischen Ungleichung gilt (m - 1/n)^p = m^p*(1 - 1/n*m)^p > m^p*(1 - p/n*m), falls -(1/n*m) > -1 d.h. 1/n < m ist.
Etwas Jonglieren mit Ungleichungen liefert m^p*(1 - p/n*m) > a sofern 1/n < S , wobei S:=m*(m^p-a)/p*m^p ist.

Der obige "Satz des Eudoxos" liefert jedoch die Existenz eines geeigneten n, so dass 1/n kleiner als jede der (positiven!) Zahlen m und S ist.

Für ein solches n gelten nun (*) 0 < m - 1/n < m und (**) (m - 1/n)^p > a.
Wegen (*) existiert m' aus M mit m' > m - 1/n , also (wieder mit Aufgabenteil 1) m'^p > (m - 1/n)^p
und wegen (**) folgt m'^p > a. Diese Abschätzung besagt jedoch, dass m' nicht aus M ist - im Widerspruch zu der Wahl von m'!

q.e.d.

Tja, ich sagte ja, dass der Aufgabenteil 2 etwas knifflig ist; ich hoffe du kannst dennoch etwas damit anfangen.

Beste Grüße

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