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Beitrag |
    
Fabian
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 20:33: | 
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Hallo Leute,
ich komme bei folgendem Beweis nicht weiter:
Beweise (durch Induktion):
($ = Summenzeichen)
n
§ ((m+k) über k) = ((m+n+1) über n).
k=0
Ich freue mich auf eure Antworten!
Mfg,
Fabian |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 919
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 14:37: |
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Fabian,
Bezeichne die fragliche Summe mit S(m,n). und betrachte
S(m+1,n) = Sn k=0 binom(m+k+1,k)
= 1 + Sn k=1 binom(m+k+1,k).
Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten
besagt, dass für k >=1
binom(m+k+1,k) = binom(m+k,k) + binom(m+k,k-1).
Daher ist
S(m+1,n) = 1 + Sn k=1 binom(m+k,k) +
Sn k=1 binom(m+k,k-1)
= S(m,n) + Sn k=1 binom(m+k,k-1)
= S(m,n) + Sn-1 k=0 binom(m+k+1,k)
= S(m,n) + Sn k=0 binom(m+k+1,k)
- binom(m+n+1,n)
= S(m,n) + S(m+1,n)
- binom(m+k+1,n).
=> S(m,n) = binom(m+n+1,n)
Merkwürdigerweise ist hier kein Induktionsschluss
erforderlich.
Variante: Induktion bezüglich der Variablen n bei festem m :
S(m,n+1) = S(m,n)
+ binom(m+n+1, n+1)
= binom(m+n+1,n)
+ binom(m+n+1,n+1) (Ind.-Ann.)
= binom(m+n+2,n+1) (Additionstheorem).
mfG Orion
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