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Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 17:07: | 
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Hallo,
die Aufgabe hört sich einfach an und ist es sicher auch, aber ich weiß nicht wie ich die teils "einfachen" Aufgaben lösen kann.
Seien a, b, c und d reelle Zahlen. Beweise:
<= steht für "kleiner oder gleich"
a) a < b und c < d --> a + c < b + d
b) 0 < a < b und 0 < c < d --> ac < bd.
c) ab > 0 <--> entweder a > 0, b > 0 oder a < 0, b < 0.
d) ab < 0 <--> entweder a > 0, b < 0 oder a < 0, b > 0.
e)0 < a <= b --> a^2 <= ((2ab)/(a+b))^2 <= ab <= ((a+b)/2)^ <=b^2
f) |a * b| = |a| * |b|
Bei a) habe ich folgendes
a a+c b+c a+c
Vor allem die ersten 4 Folgerungen sind für mich nachvollziehbar, aber wie kann ich das nur beweisen? Ein Zahlenbeispiel reicht ja nicht bestimmt.
Dankeschön! |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 457
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 17:22: |
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Hi,
ich geb dir mal ein Muster mit der a):
a < b ==> a+c < b+c
c < d ==> c+b < d+b
wenn du beides zusammen nimmst hast du die Behauptung ! |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 17:34: |
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Man, wie kompliziert so eine "einfache logische" Aufgabe aussehen kann.
Also wenn c+b < d+b, dann ist ja auch c+a < d+b, weil a+c < b+c.(Transitivität und Kommutativität)
Ist das so ok?? |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 459
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 21:40: |
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Hi,
stimmt. Die kürzest mögliche Version ist
a+c < b+c < b+d
(wenn man zu den Voraussetzungen einmal von rechts c und einmal von links b addiert, dann muss man noch nicht mal das Kommuntativgesetz bemühen).
Die b geht genauso, bei c und d sind Fallunterscheidungen fällig und bei der e solltest du dich an die 1. und 2. binomische Formel erinnern ! |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 22:54: |
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Hallo,
also die 2. würde dann so gehen ?
Voraussetzung ist natürlich, dass gilt:
0 < a < b und 0 < c < d
a<b --> ac < bc (Monotonie der Multiplikation)
c<d --> bc < bd (" ")
--> ac < bd (Transitivität)
Bei c) und d) weiß ich nicht wie ich die Fallunterscheidung führen könnte.
Mir fällt spontan zu c) zum Fall
a > 0, b > 0 folgendes ein:
ab = a, dann gilt ab = a * 1 --> b = 1 > 0
Danke für Deine Hilfe! |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 461
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 21:16: |
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Hi,
ja so geht die b. Wichtig ist, dass b und c beide >0 sind, d.h. kein Vorzeichenwechsel der Ungleichung beim Multiplizieren.
Die c und d würde ich gemeinsam rechnen:
schreib dir alle 5 möglichen Fälle auf und zeige was jeweils mit dem Produkt passiert. Die 5 Fälle sind
a<0,b<0
a<0,b>0
a>0,b<0
a>0,b>0
a und/oder b = 0
Andere gibt es nicht, das liefert dann die Rückrichtung. |
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