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Walliworld (Walliworld)
Mitglied
Benutzername: Walliworld
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 08:44: | 
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Hallo,
kann mir jemand bei folgendem Beweis helfen?
www.walter-daseburg.de/beweis.html
Ich habe versuch die Vollständige Induktion zu verwenden. Komme aber irgentwie nicht auf ein Sinvolles Ergebniss.
Vielen Dank schon mal
Gruß Stefan |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 965
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 10:02: |
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Tipp: nimm als als Vergleich den Binomschen Lehrsatz
(a+b)^n = ...
mit a = b = 1;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Walliworld (Walliworld)
Mitglied
Benutzername: Walliworld
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. November, 2004 - 19:42: |
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Schönen Dank für den Ansatz!! Hab ich gar nicht dran gedacht.
Gruß
Stefan |
Walliworld (Walliworld)
Mitglied
Benutzername: Walliworld
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 21:53: |
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Noch mal ne Frage zu Binomen,
Es soll gezeigt werden, dass:
n
sum j^3 = (n+1 über 2)^2
j=1
Wie setze ich dort an? Kann mir jemand helfen?
Schönen Dank schon mal.
mfg
Stefan |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 423
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 22:23: |
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vollständige Induktion ist angesagt!!!
mal testen:
Zahl³=Wert=Summe=x²
1³=1=1=1²
2³=8=9=3²
3³=27=36=6²
4³=64=100=10²
5³=125=225=15²
Induktionsanfang:
n=1
1³=(2 über 2)²=1
wahre Aussage
Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
n=k
k
sum j³ = (k+1 über 2)²
j=1
Induktionsbehauptung:
n=k+1
k+1
sum j³ = (k+1+1 über 2)² = (k+2 über 2)²
j=1
Induktionsbeweis:
(k+1 über 2)² + (k+1)³ = (k+2 über 2)²
NR1:
(k+1 über 2)=(k+1)!/((k+1-2)!*2!)=(k+1)*k/2=(k²+k)/2
NR2:
(k+2 über 2)=(k+2)*(k+1)/2 = k²+3k+2/2
((k²+k)/2)² + (k+1)³ = (k²+3k+2/2)²
(k^4+2k³+k²)/4 + k³+3k²+3k+1 = (k^4+6k³+13k²+12k+4)/4
(k^4+2k³+k²)/4 + 4(k³+3k²+3k+1)/4 = (k^4+6k³+13k²+12k+4)/4
(k^4+2k³+k²)/4 + (4k³+12k²+12k+4)/4 = (k^4+6k³+13k²+12k+4)/4
(k^4+6k³+13k²+12k+4)/4=(k^4+6k³+13k²+12k+4)/4
wahre Aussage
w.z.b.w
sorry, falls es teilweise etwas unübersichtlich ist... - aber ich hoffe, dass du die Gleichungsumstellungen verstehst...
mfG
Tux
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Leo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 02:20: |
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Man erhält die Aussage auch aus der Beziehung:
sum{(k+1)^4, k=1..n} - sum{k^4, k=1..n} = (n+1)^4 - 1 (*),
vorausgesetzt, mann kennt die Summenausdrücke von sum{k^j, k=1..n}, j = 0,1,2. Einfaches Umformen nach sum{k^3, k=1..n} in (*) führt zur Behauptung. Dies ist nur ein Spezialfall der allgemeinen Rekursionsformel für die Summe der j-ten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen. |
