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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4025
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 12:41: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 370
Man beweise die für 0 < z < 1 gültige Beziehung
sum [sin (2 Pi n z ) / n ] = Pi * ( ½ – z ) ,
( n = 1 ad infinitum )
ohne von den Fourierreihen Gebrauch zu machen.
Erwünscht ist ein Beweis mit Verwendung
komplexer Zahlen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 871
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 16:08: |
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Megamath,
Vorschlag: Für w := exp(2pix) , x€ R \ {0}
gilt
f(x) := S¥ n=1 wn/n = - ln(1-w)
= - ln[(1-cos(2px) - sin(2px)*i]
= - ln |w| +
i*arctan[ sin(2px)/(1-cos(2px))]
Der Ausdruck in [...] ist = cot(px)
= tan[(1/2-x)p].
Die gesuchte Summe ist der Imaginärteil von f(x):
Im(f(x) = p(1/2-x).
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4026
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 16:17: |
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Hi Orion
Danke für den Beitrag!
Genau das war meine Absicht für eine Lösung.
Ich war schon drauf und dran, einen Hinweis zu geben.
Das bleibt mir jetzt erspart.
MfG
H.R.Moser,megamath |
