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Lockere Folge 370 : Reihen 10

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4025
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 12:41:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 370

Man beweise die für 0 < z < 1 gültige Beziehung
sum [sin (2 Pi n z ) / n ] = Pi * ( ½ – z ) ,
( n = 1 ad infinitum )
ohne von den Fourierreihen Gebrauch zu machen.
Erwünscht ist ein Beweis mit Verwendung
komplexer Zahlen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 871
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 16:08:   Beitrag drucken

Megamath,

Vorschlag: Für w := exp(2pix) , x€ R \ {0}
gilt

f(x) := S¥ n=1 wn/n = - ln(1-w)

= - ln[(1-cos(2px) - sin(2px)*i]

= - ln |w| +

i*arctan[ sin(2px)/(1-cos(2px))]

Der Ausdruck in [...] ist = cot(px)

= tan[(1/2-x)p].

Die gesuchte Summe ist der Imaginärteil von f(x):

Im(f(x) = p(1/2-x).




mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4026
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 16:17:   Beitrag drucken

Hi Orion



Danke für den Beitrag!

Genau das war meine Absicht für eine Lösung.
Ich war schon drauf und dran, einen Hinweis zu geben.
Das bleibt mir jetzt erspart.

MfG
H.R.Moser,megamath

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