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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4027
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 19:47: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 371
Es soll die Folgende Gleichheit mit
einem unendlichen Produkt bewiesen werden:
product [1+1/n^2] = 1/Pi* sinh (Pi)
n =1 ad infinitum.
Anmerkung
Zur Lösung der Aufgabe kann man
vom bekannten unendlichem Produkt
für sin (Pi * z) Gebrauch machen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1356
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 21:21: |
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Hi megamath,
wenn man wie gesagt:
sin(pi*z) = pi*z * product[1 - z^2/n^2] [n=1..inf]
nutzen darf, müsste es so klappen:
sei z = it (i = imaginäre Einheit)
dann gilt:
sin(it) = i * sinh(t)
i^2 = -1
Setzen wir das oben in das unendliche Sinusprodukt ein:
sin(pi*it) = pi*it * product[1 - (it)^2/n^2] [n=1..inf]
alles umformen:
i sinh(pi*t) = pi*it * product[1 + t^2/n^2] [n=1..inf]
sinh(pi*t)/(pi*t) = product[1 + t^2/n^2] [n=1..inf]
Setzen wir hier t = 1
sinh(pi)/pi = product[1 + 1/n^2] [n=1..inf]
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4028
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 21:46: |
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Hi Ferdi,
Das ist gut so!
Morgen skizziere ich eine mögliche Herleitung
für die Darstellung von sin (Pi z) durch ein unendliches Produkt.
Der Beweis ist in der Funktionentheorie
angeiedelt.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4029
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 09:07: |
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Hi allerseits
Hier die versprochene Skizze einer Herleitung der Formel
sin (Pi z) = Pi*z * product[1 - z^2/n^2], [n=1..inf] ………….(FI)
Vorbereitung:
Aus früheren Zeiten kennen wir die Formel
Pi cot (Pi z) = 1/z + sum° [1/(z-n)+ 1/n]…………………………….(FII)
Summationsindex n: von minus unendlich bis plus unendlich
Das Zeichen ° beim Summenzeichen bedeutet, dass n = 0
wegzulassen ist.
Das Thema lautet:
Eine ganze Funktion mit vorgeschriebenen Nullstellen.
Die Funktion f(z) = sin(Pi z) hat die einfachen
Nullstellen 0, +1, -1, +2 , -2 , +3, – 3 ……….
Eine solche Funktion wird gemäß Theorie dargestellt
durch den Ausdruck
h(z) = e^H(z) * z * product° [(1-z/n)*e^(z/n)];
n durchläuft alle ganzen Zahlen mit Ausschluss der Null.
Bei geeigneter Wahl von H(z) gilt dann:
sin ( Pi z ) = e^H(z) * z * product° [(1-z/n)*e^(z/n)]
n: minus unendlich bis plus unendlich, ohne die Null.
Ermittlung von H(z):
Wir bilden die logarithmische Ableitung beider Seiten nach z;
dabei entsteht:
Pi cos (Pi z) / sin ( Pi z) = H´(z) +1/z + sum° [1/(z-n)+ 1/n]
Wegen (FII) gilt:
H´(z) = 0
H(z) und damit auch e^H(z) sind konstante Größen;
wir finden leicht: e ^ H(z) = Pi, weil sin (Pi z) / z gegen Pi strebt
für z gegen null
Damit gilt:
sin ( Pi z ) = Pi z * product° [(1-z/n)*e^(z/n)]
Wir fassen die zu entgegengesetzt gleichen n-Werten gehörenden
Faktoren im Produkt zusammen.
Dann entsteht die angegebene Sinusproduktformel (FI).
Damit endet auch die Beweis-Skizze.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1357
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 10:38: |
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Hi megamath,
ich kenne da noch einen Weg für das unendliche Sinusprodukt, sie geht auch von deiner Summe aus, wollte ich nur mal zeigen, man sieht wieder viele Wege führen zum Ziel:
cot(z) - 1/z = sum[ 1/(z-nPI) + 1/(nPI)] [n=-inf..inf ohne 0] (a)
Die Summe können wir umformen!!
sum[ 1/(z-nPI) + 1/(nPI)] [n=-inf...-1] +
sum[ 1/(z-nPI) + 1/(nPI)] [n=1...inf]
==> {[ 1/(z+PI) + 1/(z-PI) ] + [ 1/(z+2Pi) + 1/(z-2PI) ]...}
==> {[ 2z/(z^2-PI^2) ] + [ 2z/(z^2-4PI^2) ]...+ [ 2z/(z^2-n^2PI^2)]}
==> sum[ 2z/(z^2-n^2PI^2) ] [n=1..inf]
Nun integrieren wir (a) beiderseitig in den Grenzen 0 bis t! Rechts können wir Summe und Integral vertauschen:
Wir erhalten mit der umgeformten Summe:
ln[sin(t)/t] = sum[ ln( 1 - t^2/(n^2PI^2) ] [n=1..inf]
Nutzen wir nun rechts das log-Gesetz:
ln(a)+ln(b) = ln(a*b)
ln[sin(t)/t] = ln[product( 1 - t^2/(n^2PI^2)) ] [n=1..inf]
Vergleicht man nun die Argumente der ln, so kommt sofort:
sin(t) = t * product[ 1 - t^2/(n^2PI^2) ] [n=1...inf]
Setzen wir nun noch t = pi*z , kommt:
sin(pi*z) = pi*z * product[ 1 - z^2/n^2 ] [n=1..inf]
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4032
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 11:48: |
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Hi Ferdi
Ich danke Dir für Deinen Beitrag.
Diese Herleitung gefällt mir und gibt Abwechslung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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