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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3232 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 14:54: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 143 Gegeben ist die Kugel x^2 – 40 x + y^2 – 24 y + z^2 – 18 z + 400 = 0 Mit dem Nullpunkt O als Spitze wird der Berührungskegel an die Kugel gelegt, welcher die Kugel längs des Kleinkreises c berührt. Man berechne den Kegelmantel (Kegelfläche zwischen O und c) sowie die Flächen der beiden Kugelhauben (Kalotten) ,welche auf der Kugel liegen und je von c begrenzt sind. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1005 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 21:00: |
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Hi megamath, Kegelfläche K : 192pi Kugelhaube 1 : 4032pi Kugelhaube 2 : 468pi Zusammen ergeben die Kugelhauben 4500pi = V von Kugel! Stimmt das? Dann kommt morgen die Lösung hinterher! mfg |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 960 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 21:12: |
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Hi! Ich denke, diese Aufgabe lässt sich auf Mittelstufenniveau lösen. Zumindest, wenn ich das mit den Kalotten richtig verstanden habe ;) Zuerst suchen wir mal den Mittelpunkt der Kugel. Dazu ändern wir erstmal die Darstellungsform: K: (x-20)² + (y-12)² + (z-9)² = 225 = 15² Damit haben wir: r = 15 und M(20 / 12 / 9). Die Länge m der Strecke OM ist Ö(20² + 12² + 9²) = 25. Die Seitenlinie s erhalten wir mit dem Pythagoras: s = Ö(m² - r²) = Ö(25² - 12²) = 20 Also haben wir schon einnmal die Mantelfläche: AM = prs = p*15*20 = 300p Nun bestimmen wir den Radius r des Kleinkreises c mittels folgender Beziehungen: ADreieck = rs/2 und ADreieck = mr/2 <=> r = 2A/m = rs/m = 300/25 = 12 Für die Höhe des kleineren Kugelsegments (das ist doch die 1. Kalotte, oder?) gilt: r² + (r-h)² = r² <=> h = r - Ö(r² - r²) = 15 - Ö(225 - 144) = 15 - 9 = 6 Und so bekommen wir für die Oberfläche dieses kleineren Kugelsegments: A1 = 2prh = 2p*15*6 = 180p Für das andere Kugelsegment nehmen wir die Differenz aus Gesmatoberfläche und A1: A2 = 4pr² - 2prh = 900p - 180p = 720p Das war vielleicht nicht der ideale Weg und ich weiß nicht, ob ich mich nicht verrechnet habe, aber ich gebe zu, dass ich mit Kegeln im Raum und so nicht ganz firm bin. Nie gelernt... MfG Martin (Beitrag nachträglich am 21., Dezember. 2003 von martin243 editiert) Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3234 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 08:10: |
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An die die letzten Mohikaner ! Hi Ferdi, Hi Martin Es ist natürlich eine Ermessensfrage, wohin eine solche Aufgabe zu platzieren ist, Uni-Niveau oder nicht. Da die Aufgabe aber nur einen Vorspann für die schwierigere Aufgabe LF 144 darstellt, habe ich sie beim höheren Niveau untergebracht. Für die Startphase zur vorliegenden Aufgabe habe ich an die Potenz des Nullpunktes bezüglich der gegebenen Kugel gedacht (Ferdi kann sich vielleicht an diese Sache erinnern). Du brauchst die Kugelgleichung nicht umzuformen, hihi! Setze x = y = z = 0 direkt in die linke Seite F der normierten und auf null gebrachten Kugelgleichung ein, also in F = x^2 – 40 x + y^2 – 24 y + z^2 – 18 z + 400, und Du bekommst mit T^2 = 400 die erwähnte Potenz, welche das Quadrat der gesuchten Mantellinie T = 20 des Kegels ergibt, und so weiter und so fort. Die Ergebnisse von Martin für die Kalottenflächen sind richtig. Für den Kegelmantel erhalte ich Pi * 20 * 12 = 240 Pi; es ist der Radius rho des Grundkreises des Kegels einzusetzen, nicht der Kugelradius. Volumina kommen keine vor. Bald erscheint die Aufgabe LF 144 und das Quadrat eines Dutzends, ein so genanntes Gros (grosse dozaine), ist voll! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 961 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 08:34: |
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Tja, mal wieder ging es viel kürzer als ich gedacht hatte. Aber das ist nicht ganz mein Gebiet. Das mit dem Radius ist klar... LF 144 erlebe ich nicht mehr, da ich jetzt zu meinen Eltern fahre und dort Weihnachten feiern werde. In diesem Sinne: Euch allen frohe Weihnachten und 2004 sehen wir uns alle wieder! MfG Martin Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3235 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 08:45: |
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Hi Martin, Ich wünsche Dir erholsame Ferien und ein frohes Fest! In meine Wünsche eingeschlossen sind auch alle bekannten und unbekannten Telnehmer am Forum !* MfG H.R.Moser,megamath |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 415 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 15:20: |
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Vielen Dank - alles Gute und ein frohes Fest auch für Dich! Mit freundlichen Grüßen Jair
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 330 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 15:26: |
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Hi, Auch ich wünsche euch allen frohe Weihnachten! Mit freundlichen Grüßen, Olaf |