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Lockere Folge 143 : Kugel mit Tangent...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3232
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 14:54:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 143
Gegeben ist die Kugel x^2 – 40 x + y^2 – 24 y + z^2 – 18 z + 400 = 0

Mit dem Nullpunkt O als Spitze wird der Berührungskegel an die Kugel
gelegt, welcher die Kugel längs des Kleinkreises c berührt.

Man berechne den Kegelmantel (Kegelfläche zwischen O und c)
sowie die Flächen der beiden Kugelhauben (Kalotten) ,welche auf der
Kugel liegen und je von c begrenzt sind.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1005
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 21:00:   Beitrag drucken

Hi megamath,

Kegelfläche K : 192pi

Kugelhaube 1 : 4032pi

Kugelhaube 2 : 468pi

Zusammen ergeben die Kugelhauben 4500pi = V von Kugel!

Stimmt das? Dann kommt morgen die Lösung hinterher!

mfg
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 960
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 21:12:   Beitrag drucken

Hi!

Ich denke, diese Aufgabe lässt sich auf Mittelstufenniveau lösen. Zumindest, wenn ich das mit den Kalotten richtig verstanden habe ;)

Zuerst suchen wir mal den Mittelpunkt der Kugel. Dazu ändern wir erstmal die Darstellungsform:
K: (x-20)² + (y-12)² + (z-9)² = 225 = 15²

Damit haben wir:
r = 15 und M(20 / 12 / 9).

Die Länge m der Strecke OM ist Ö(20² + 12² + 9²) = 25.

Die Seitenlinie s erhalten wir mit dem Pythagoras:
s = Ö(m² - r²) = Ö(25² - 12²) = 20

Also haben wir schon einnmal die Mantelfläche:
AM = prs = p*15*20 = 300p


Nun bestimmen wir den Radius r des Kleinkreises c mittels folgender Beziehungen:
ADreieck = rs/2 und ADreieck = mr/2

<=> r = 2A/m = rs/m = 300/25 = 12


Für die Höhe des kleineren Kugelsegments (das ist doch die 1. Kalotte, oder?) gilt:
r² + (r-h)² = r²
<=> h = r - Ö(r² - r²) = 15 - Ö(225 - 144) = 15 - 9 = 6


Und so bekommen wir für die Oberfläche dieses kleineren Kugelsegments:
A1 = 2prh = 2p*15*6 = 180p

Für das andere Kugelsegment nehmen wir die Differenz aus Gesmatoberfläche und A1:
A2 = 4pr² - 2prh = 900p - 180p = 720p


Das war vielleicht nicht der ideale Weg und ich weiß nicht, ob ich mich nicht verrechnet habe, aber ich gebe zu, dass ich mit Kegeln im Raum und so nicht ganz firm bin. Nie gelernt...


MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 21., Dezember. 2003 von martin243 editiert)
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3234
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 08:10:   Beitrag drucken

An die die letzten Mohikaner !

Hi Ferdi, Hi Martin

Es ist natürlich eine Ermessensfrage, wohin eine solche Aufgabe
zu platzieren ist, Uni-Niveau oder nicht.
Da die Aufgabe aber nur einen Vorspann für die schwierigere Aufgabe
LF 144 darstellt, habe ich sie beim höheren Niveau untergebracht.

Für die Startphase zur vorliegenden Aufgabe habe ich an die Potenz
des Nullpunktes bezüglich der gegebenen Kugel gedacht
(Ferdi kann sich vielleicht an diese Sache erinnern).
Du brauchst die Kugelgleichung nicht umzuformen, hihi!
Setze x = y = z = 0 direkt in die linke Seite F der normierten und
auf null gebrachten Kugelgleichung ein, also in
F = x^2 – 40 x + y^2 – 24 y + z^2 – 18 z + 400, und Du bekommst mit
T^2 = 400 die erwähnte Potenz, welche das Quadrat der gesuchten
Mantellinie T = 20 des Kegels ergibt, und so weiter und so fort.

Die Ergebnisse von Martin für die Kalottenflächen sind richtig.
Für den Kegelmantel erhalte ich Pi * 20 * 12 = 240 Pi;
es ist der Radius rho des Grundkreises des Kegels einzusetzen,
nicht der Kugelradius. Volumina kommen keine vor.



Bald erscheint die Aufgabe LF 144 und das Quadrat eines
Dutzends, ein so genanntes Gros (grosse dozaine), ist voll!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 961
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 08:34:   Beitrag drucken

Tja,

mal wieder ging es viel kürzer als ich gedacht hatte. Aber das ist nicht ganz mein Gebiet.
Das mit dem Radius ist klar...

LF 144 erlebe ich nicht mehr, da ich jetzt zu meinen Eltern fahre und dort Weihnachten feiern werde.
In diesem Sinne:
Euch allen frohe Weihnachten und 2004 sehen wir uns alle wieder!


MfG
Martin
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Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3235
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 08:45:   Beitrag drucken

Hi Martin,



Ich wünsche Dir erholsame Ferien und ein frohes Fest!
In meine Wünsche eingeschlossen sind auch
alle bekannten und unbekannten Telnehmer am Forum !*

MfG
H.R.Moser,megamath
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 415
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 15:20:   Beitrag drucken

Vielen Dank - alles Gute und ein frohes Fest auch für Dich!
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 330
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 15:26:   Beitrag drucken

Hi,

Auch ich wünsche euch allen frohe Weihnachten!


Mit freundlichen Grüßen,

Olaf

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