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Lockere Folge 144 : Projektion eines ...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3236
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Dezember, 2003 - 09:28:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 144 ist eine Weiterführung von Aufgabe LF 143.
Gegeben ist wiederum die Kugel
x^2 – 40 x + y^2 – 24 y + z^2 – 18 z + 400 = 0

Mit dem Nullpunkt O als Spitze wird der Berührungskegel an die Kugel
gelegt, welcher die Kugel längs des Kleinkreises c berühr

Die Orthogonalprojektion c´ des Kreises c auf die (x,y) – Ebene
ist eine Ellipse (c´: Grundriss des Kleinkreises c)

a) Man ermittle die Halbachsen dieser Ellipse.

b) (schwieriger) Bestimme die Koordinaten der Berührungspunkte
U´ und V´ von c´ mit dem Umrisskreis der Kugel im Grundriss.
Diese Punkte heissen Umrisspunkte des Kreises c bezüglich
der Projektion auf die (x,y) - Ebene.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1006
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Dezember, 2003 - 14:38:   Beitrag drucken

Hi megamath,

erhält man die Ellipse indem man aus der Ebene in der der Berührkreis liegt, die Polarebene von O bezüglich k [man erhält sie durch Polarisation] und der gegebenen Kugelgleichung z eliminiert?

Leider habe ich heute keine Zeit mehr zum rechnen [die Familie], aber mich würde interessieren ob der Weg stimmt?

mfg
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 733
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Dezember, 2003 - 19:18:   Beitrag drucken

Megamath,

a) Der Kreis c ist der Schnittkreis der Kugel k mit der
Polarebene p von O bezüglich k, im vorliegenden Fall
gilt also

p : 20x + 12y + 9z -400 = 0.

Mit Hilfe von p eliminieren wir z aus der k-Gleichung,
mit dem Ergebnis

c' : 481x2 + 480xy + 225y2 -16000x -9600y+127600=0.

Anschliessend erfolgt Hauptachsentransformation.
Resultat: Durch die Koordinatendrehung

x = (3x'+5y')/sqrt(34) , y = (-5x'+3y')/sqrt(34)

geht die Gl. von c' in


(1) 81x'2 + 625[y'-128sqrt(34)/25]2 = 1082

über. Die gesuchten Hauptachsen sind also

a = sqrt(3)/2 , b = 25/6sqrt(3).

b) Die Gleichung des Umrisskreises von k in (x',y')

lautet

(2) x'2+y'2 - 8sqrt(34)y' + 400 = 0.

Man hat dann noch das Gleichungssystem (1),(2)
für (x',y') zu lösen. Dafür liefert Maple

x' = ch{+-}*60/sqrt(34}, y' = 50*sqrt(34)/17

Greetings of the season !







mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1007
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Dezember, 2003 - 20:08:   Beitrag drucken

Hi,

@Orion: Ich erhalte die selben Ergebnisse mit der selben Methode, zwar ohne Maple, aber was solls!

Tja, da sag ich doch Frohe Weihnachten euch allen !!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3237
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Dezember, 2003 - 21:14:   Beitrag drucken

Hi Orion, Hi Ferdi



Ihr habt über die Feiertage eine tolle M-Leistung vollbracht!
Ich komme morgen auf Détails zurück.
ich zeige dann noch eine ganz andere Methode.

Ich schliesse mich den Wünschen an ;
weiterhin:
Frohe Feiertage !

MfG
H.R.Moser,megamath

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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 734
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 09:58:   Beitrag drucken

Hallo Megamath, Ferdi,

Zunächst die fällige Verbesserung kleinerer Schönheitsfehler: (1) sollte lauten

(1) 81 x'2 + 625 (y' - 64sqrt(34)/25)2 = 1082,

und die Hauptachsen sind wegen

a2 = (108/9)2 = 122 ,

b2 = (108/25)2 :

a= 12 , b = 108/25.

Ferner noch eine technische Bemerkung zur Lösung von (1),(2):
Schreibt man (2) in der Form

x'2 + (y' - 4sqrt(34))2 = 144,

und erweitert dies mit 81, so ergibt sich zur Erleichterung des Rechners nach Elimination von x'

81(y' - 4sqrt(34))2 = 625(y'-64sqrt(34)/25)2

<=>

9y' - 36sqrt(34) = ±(25y' - 64sqrt(34)).

Einzig die Lösung mit dem - - Zeichen ergibt ein reelles x' und damit die oben ermittelten Koordinaten,
welche man anstandshalber noch auf x,y umrechnen
sollte :

U' = (20 , 0) , V' = ( 160/17 , 300/17)




mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3238
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 10:48:   Beitrag drucken

Hi Orion, Hi Ferdi

Bei der Konzeption der Aufgabe ging es mir unter anderem darum,
alle Methoden zur Geltung zu bringen, die beim Umgang mit Kugeln
und ihren ebene Schnitten wesentlich sind.
Außerdem sollten die Ergebnisse rationale Zahlen sein.

Zunächst soll die Teilaufgabe a) gelöst werden und zwar mit einer
Methode, die ziemlich nahe liegend ist.
Es geht um die Ermittlung der Halbachsen a und b der Ellipse c´,
welche als Normalprojektion des Kleinkreises c auf die
(x,y)- Ebene entsteht.

Die Ebene E des Kreises c ist die Polarebene der Kugel mit O als Pol.
Die Gleichung von E lautet, wie wir früher feststellten:
20 x + 12 y + 9 z – 400 = 0 ; Normalenvektor n = {20;12;9}
Den Mittelpunkt N von c findet man als Durchstoßpunkt der Achse
OM des Kegels mit E; es kommt:
N(64/5;192/25;144/25).
Der Radius des Kleinkreises beträgt rho = 12
(siehe Lösung der Aufgabe LF 143)

Die große Halbachse a der Projektion stimmt mit rho überein
Die Hauptscheitel der Ellipse liegen auf der Projektion einer
ersten Hauptgerade h durch N.
Derjenige Kreisdurchmesser, der auf h liegt, erscheint im Grundriss
unverkürzt.
Somit gilt:
a = rho = 12
°°°°°°°°°°°°
Hingegen wird der dazu senkrechte Durchmesser, der auf einer
Fallgeraden f von E durch N liegt, am meisten verkürzt.
Auf seiner Projektion liegen die Nebenscheitel der Ellipse.
Für die Halbachse b gilt
b = rho * cos (alpha), wobei alpha den Neigungswinkel der Ebene
bezüglich der Koordinatenebene (x,y) darstellt.

Wir ermitteln alpha als Winkel der Normalen dieser Ebenen,
also als Winkel der Vektoren n ={20;12;9} und v = {0;0;1}
Mit Hilfe der bekannten Formel mit dem Skalarprodukt kommt:
cos(alpha) = n . v / [abs(n) * abs(v) ] = 9 / 25.

Somit gilt für die Halbachse b:
b = rho * cos(alpha) = 108/25
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°



Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3240
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 19:52:   Beitrag drucken

Hi Orion, Hi Ferdi

Es folgen noch einige weitere Bemerkungen zur Teilaufgabe a)
Folgt man der Anregung von Ferdi und eliminiert aus der Gleichung
der Polarebene 20 x + 12 y + 9 z – 400 = 0 und der Kugelgleichung
die Variable z, so erhält die Gleichung der Ellipse c´, nämlich:
481 x^2 + 480 x y + 225 y^2 – 16 000 x – 9 600 y + 127 600 = 0

Wir untersuchen die zugehörige quadratische Form
F = 481 x^2 + 480 x y + 225 y^2 ; die Koeffizienten sind
A = 481, B = 240 , C = 225
Eigenwerte L1= 625, L2 = 81
Zum EW L1 gehört der Eigenvektor v1 ={5;3},
zu L2 der dazu senkrechte Eigenvektor v2 ={3;-5}.
Es ist nun nicht mehr schwierig, die Halbachse b zu ermitteln,
wenn a = rho = 12 vorausgesetzt wird.
Dazu hilft ein Dreisatz.
Zum Eigenwert L1 = 625 gehört a^2 = 144,
somit gehört zum Eigenwert L2 = 81
b^2 = 81 * (144 / 625) ;daraus

b = 9 *12 /25
wie mit meiner ersten Methode.

Die Eigenwerte ergeben die Richtungen der Hauptachsen;
insbesondere ist die große Achse parallel zur Geraden
y = - 5/3 * x.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3242
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi Orion, Hi Ferdi



Hinweis zu Teilaufgabe b)

Die gesuchten Umrisspunkte ergeben sich als Schnittpunkte
des Kreises
x^2 + y^2 – 40 x – 24 y + 319 = 0
und der Geraden mit der Gleichung
20 x + 12 y – 319 = 0
Die Koordinaten werden, entgegen meiner Intention, nicht rational.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3247
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 09:33:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Teilaufgabe b)

Für das Verständnis hilfreich ist eine Darstellung der Situation
in der (x,y) –Ebene, welche die Rolle der Grundrissebene spielt.
Wir zeichnen:

den Kreis k´, Mittelpunkt M´ mit xM´= 20, yM´= 12,
Radius 15 (Kugelradius).
k´ stellt den Umriss der Kugel im Grundriss dar.

die Ellipse c´, Mittelpunkt N´ mit xN´= 64/5, yN´= 192/25
( N´liegt auf der Gerade OM´)
Kleine Halbachse b = 108/25 von N´ aus auf OM´ nach beiden Seiten
abtragen.
Grosse Halbachse a = 12 von N´ aus auf der Senkrechten zu OM´
nach beiden Seiten abtragen.

Die Tangenten von O aus an den Kreis k´ berühren diesen Umrisskreis
in den gesuchten Umrisspunkten U´, V´ von c´.
Sie sind gleichzeitig die Berührungspunkte der Ellipse c´ mit dem Kreis k´.

Koordinaten von U´,V´:
xU´ ~ 5,82 ; yU´~16,88
xV´ ~ 17,64 ; yV´~ -2,82

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3248
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 11:12:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die rechnerische Lösung der Teilaufgabe b) kann folgendermaßen
durchgeführt werden:
Man schneidet den Umrisskreis der Kugel in der (x,y)-Ebene,
d.h. den Kreis k´, Gleichung
(x – 20)^2 + (y – 12) ^2 = 15 ^ 2
mit der Polaren p des Nullpunktes O bezüglich k´;
p hat die Gleichung 20 x + 12 y – 319 = 0 ,
wie man leicht nachrechnet.
Damit erhält man die gesuchten Umrisspunkte U´, V´.

Die Koordinaten dieser Punkte sind in einer Näherung:
xU´ ~ 5,82 ; yU´~16,88
xV´ ~ 17,64 ; yV´~ -2,82.

Beachte den interessanten Sachverhalt:

p ist zugleich die Projektion der Schnittgeraden der Polarebene des
Nullpunktes O bezüglich der Kugel mit der Parallelebene zur
Grundrissebene durch den Kugelmittelpunkt M.
Diese Parallelebene erzeugt auch den wahren Umrisskreis der Kugel
bezüglich der (x,y)-Ebene.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1009
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 11:18:   Beitrag drucken

Hi megamath,

da gibst du uns aber viel zu verdauen nach Weihnachten !

Das kann dauern nach den vielen Kecksen und dem vielen Marzipan!

Besten Dank für deine aufschlussreiche Lösung

mfg
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 736
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 16:00:   Beitrag drucken

Hallo allerseits,

Ich habe inzwischen meinen Fehler gefunden :
(2) muss natürlich heissen

(2) x'2 + y'2 - 8sqrt(34)y'+319 = 0 !

Die Auflösung des Systems (1),(2) wäre somit eine
wohlverdiente (jedoch über das Wochenende verbotene) Strafaufgabe !



mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3249
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 16:27:   Beitrag drucken

Hi Orion

Dem stimme ich zu ! Gemeint ist nicht die
Strafaufgabe,
sondern das geruhsame Wochenende

MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 737
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 18:38:   Beitrag drucken

Hallo Megamath,

Voraussetzung dafür ist allerdings ein gutes Gewissen.
Daher eliminierte ich x'2 und bekam

544y'2- 2552sqrt(34)y'+101761=0

mit der Doppelwurzel (!) y'= 319sqrt(34)/136,

und damit für x' die beiden Werte

x'= ± 15sqrt(319)sqrt(34)/136.

Schlussergebnis:

U'=( (1595-45sqrt(319))/136 , (957+75sqrt(319))/136 )

V'=( (1595+45sqrt(319))/136 , (957-75sqrt(319))/136 ).
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3250
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Dezember, 2003 - 19:57:   Beitrag drucken

Hi Orion,

Das ist ja phänonenal!
Deine Resultate stimmen mit meinen überein.
Es führen viele Wege zum Ziel,Hauptsache :
man erreicht es.

Main Gewissen hat sich dadurch auch etwas beruhigt;
wollte ich doch rationale Resultate erreichen,und das gelang offenbar nicht.
MfG
H.R.Moser,megamath

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