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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2780
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 20:18: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 58 ist dem Gebiet der komplexen Zahlen
entnommen.
Sie lautet
Man berechne für die komplexe Zahl z = e ^ (i phi)
den Betrag R und das Argument psi der Quadratwurzel
aus z^2 + 1.
R und psi sind als Funktionen von phi auszudrücken.
Es genügt, eine Bestimmung der Quadratwurzel zu
berücksichtigen, phi = ½ Pi ist auszuschliessen.
Die Aufgabe findet ihre Fortsetzung mit der Aufgabe
LF 59, die demnächst erscheinen wird.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2789
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 21:14: |
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Hi allerseits,
Es folgt mein Lösungsvorschlag zur Aufgabe
LF 58.
Der Einfachheit halber setze ich voraus:
in z = e ^ (i phi) gelte 0 < phi < ½ Pi.
Es ist z^2 = e (i 2 phi) = cos (2 phi) + i sin (2 phi) ,
also
z^2 + 1 = {cos (2 phi) + 1} + i {sin (2 phi)}.
Für das Quadrat des Betrages oder die Norm N von
z ^ 2 + 1 kommt
N = {cos (2 phi) + 1}^2 + {sin (2 phi) }^2 =
2 [1+cos(2 phi)].
Nun verwenden wir die goniometrische Formel
1 + cos t = 2 [cos (½ t)] ^2; somit:
N = 4 * [cos(phi)] ^ 2, daraus abs (z^2+1) = sqrt(N):
abs (z^2 + 1) = 2 * cos(phi).
Der gesuchte Betrag R von sqrt(z^2+1) ist somit:
R = sqrt (2 * cos(phi))
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Für das Argument A von z^2 + 1 gilt
tan (A) = sin(2 phi) / {cos (2 phi) + 1} =
2 sin(phi) cos (phi) / 2 [cos (phi)] ^2 = tan (phi) (!)
Somit: A = phi.
Das gesuchte Argument psi von sqrt(z^2+1) ist somit:
psi = ½ phi
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Mit freundlichen Grüßen
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