Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge 58 : Komplexe Zahl, Bet...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Komplexe Zahlen » Lockere Folge 58 : Komplexe Zahl, Betrag und Argument « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2780
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 20:18:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 58 ist dem Gebiet der komplexen Zahlen
entnommen.

Sie lautet
Man berechne für die komplexe Zahl z = e ^ (i phi)
den Betrag R und das Argument psi der Quadratwurzel
aus z^2 + 1.
R und psi sind als Funktionen von phi auszudrücken.
Es genügt, eine Bestimmung der Quadratwurzel zu
berücksichtigen, phi = ½ Pi ist auszuschliessen.
Die Aufgabe findet ihre Fortsetzung mit der Aufgabe
LF 59, die demnächst erscheinen wird.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2789
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Oktober, 2003 - 21:14:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es folgt mein Lösungsvorschlag zur Aufgabe
LF 58.
Der Einfachheit halber setze ich voraus:
in z = e ^ (i phi) gelte 0 < phi < ½ Pi.

Es ist z^2 = e (i 2 phi) = cos (2 phi) + i sin (2 phi) ,
also
z^2 + 1 = {cos (2 phi) + 1} + i {sin (2 phi)}.
Für das Quadrat des Betrages oder die Norm N von
z ^ 2 + 1 kommt
N = {cos (2 phi) + 1}^2 + {sin (2 phi) }^2 =
2 [1+cos(2 phi)].

Nun verwenden wir die goniometrische Formel
1 + cos t = 2 [cos (½ t)] ^2; somit:
N = 4 * [cos(phi)] ^ 2, daraus abs (z^2+1) = sqrt(N):
abs (z^2 + 1) = 2 * cos(phi).

Der gesuchte Betrag R von sqrt(z^2+1) ist somit:
R = sqrt (2 * cos(phi))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Für das Argument A von z^2 + 1 gilt
tan (A) = sin(2 phi) / {cos (2 phi) + 1} =
2 sin(phi) cos (phi) / 2 [cos (phi)] ^2 = tan (phi) (!)
Somit: A = phi.

Das gesuchte Argument psi von sqrt(z^2+1) ist somit:
psi = ½ phi
°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page