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Lockere Folge 455 : Dreireihige Deter...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4332
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 16:48:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit der Aufgabe LF 455 folgt eine weitere
nette Determinantenaufgabe:

Gegeben sind die Elemente ajk einer Determinante A
dritter Ordnung
(j ist die Zeilennummer, k die Spaltennummer).

Man bilde die neue (3,3) - Determinante B mit den Elementen
bjk, welche nach folgender Vorschrift entsteht:
bjj = ajj + x für j = 1,2,3; x ist eine reelle Variable, ferner gelte
bjk = ajk für j verschieden von k.

B ist ein Polynom dritten Grads in x:
B = B(x) = x^3 + k1 * x^2 + k2 * x + k3

Man drücke die Koeffizienten k1, k2, k3 durch
Daten der gegebenen Determinante A aus.

NB
Wichtiger als das Schlussresultat erscheint mir
die Raffinesse der Methode bei der Herleitung!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4336
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 09:25:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Hinweise zu einer möglichen Lösung:

Der Koeffizient k3 ergibt sich mit Leichtigkeit so:
k3 = B(0).

Mit Hilfe der Regeln für die Ableitung nach x
einer Determinante, deren Elemente Funktionen einer
Variablen x sind, findet man:
k2 = B´(0)
k1 = ½ B´´ (0)

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 907
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 10:12:   Beitrag drucken

Megamath,

det B(x) = charakteristisches Polynom von (- A) =>

det B(x) =

x3 + Spur A * x2 + k2*x + det A.

Der Koeffizient des linearen Anteils ist die Ableitung
von det B(x) an der Stelle x=0. Daher

k2 = D1+D2+D3

mit
D1 := det([a22,a23],[a32,a33]) , etc.


mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4338
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 15:59:   Beitrag drucken

Hi Orion

Danke für die Lösung.
Genau so war’s gemeint!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4339
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 16:01:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Vielleicht gehört das Wissen darüber, wie eine Determinante
differenziert wird, nicht zum Allgemeingut der Studierenden.

Nachhilfe:
Die Elemente einer Determinante seien Funktionen derselben Variablen x.
Dann ist der Wert D selbst eine Funktion von x: D = D(x)
Gesucht wird ihre Ableitung nach x: D´(x).

Um die Idee zu fixieren, nehmen wir an, es handle sich um eine
Determinante D = D(x) dritter Ordnung mit den
Zeilenvektoren {a1,a2,a3},{b1,b2,b3},{c1,c2,c3}; alle Neune
sind Funktionen von x.
Die ersten Ableitungen werden – wie üblich - mit Akzenten versehen.

Dann ist D´ (x) eine Summe von drei Determinanten U,V,W
dritter Ordnung: D´(x) = U + V + W

Der erste Zeilenvektor von U und nur dieser enthält die Ableitungen
der Elemente der ersten Zeile von D und lautet: {a1´, a2´, a3´};
die beiden andern Zeilenvektoren werden unverändert
der Determinante D entnommen.

Der zweite Zeilenvektor von V und nur dieser enthält die Ableitungen
der Elemente der zweiten Zeile von D und lautet: {b1´, b2´, b3´};
die beiden andern Zeilenvektoren werden unverändert
der Determinante D entnommen.

Der dritte Zeilenvektor von W und nur dieser enthält die Ableitungen
der Elemente der dritten Zeile von D und lautet: {c1´, c2´, c3´};
die beiden andern Zeilenvektoren werden unverändert
der Determinante D entnommen.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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