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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4332 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 16:48: |
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Hi allerseits Mit der Aufgabe LF 455 folgt eine weitere nette Determinantenaufgabe: Gegeben sind die Elemente ajk einer Determinante A dritter Ordnung (j ist die Zeilennummer, k die Spaltennummer). Man bilde die neue (3,3) - Determinante B mit den Elementen bjk, welche nach folgender Vorschrift entsteht: bjj = ajj + x für j = 1,2,3; x ist eine reelle Variable, ferner gelte bjk = ajk für j verschieden von k. B ist ein Polynom dritten Grads in x: B = B(x) = x^3 + k1 * x^2 + k2 * x + k3 Man drücke die Koeffizienten k1, k2, k3 durch Daten der gegebenen Determinante A aus. NB Wichtiger als das Schlussresultat erscheint mir die Raffinesse der Methode bei der Herleitung! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4336 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 09:25: |
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Hi allerseits Hinweise zu einer möglichen Lösung: Der Koeffizient k3 ergibt sich mit Leichtigkeit so: k3 = B(0). Mit Hilfe der Regeln für die Ableitung nach x einer Determinante, deren Elemente Funktionen einer Variablen x sind, findet man: k2 = B´(0) k1 = ½ B´´ (0) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 907 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 10:12: |
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Megamath, det B(x) = charakteristisches Polynom von (- A) => det B(x) = x3 + Spur A * x2 + k2*x + det A. Der Koeffizient des linearen Anteils ist die Ableitung von det B(x) an der Stelle x=0. Daher k2 = D1+D2+D3 mit D1 := det([a22,a23],[a32,a33]) , etc.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4338 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 15:59: |
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Hi Orion Danke für die Lösung. Genau so war’s gemeint! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4339 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 16:01: |
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Hi allerseits Vielleicht gehört das Wissen darüber, wie eine Determinante differenziert wird, nicht zum Allgemeingut der Studierenden. Nachhilfe: Die Elemente einer Determinante seien Funktionen derselben Variablen x. Dann ist der Wert D selbst eine Funktion von x: D = D(x) Gesucht wird ihre Ableitung nach x: D´(x). Um die Idee zu fixieren, nehmen wir an, es handle sich um eine Determinante D = D(x) dritter Ordnung mit den Zeilenvektoren {a1,a2,a3},{b1,b2,b3},{c1,c2,c3}; alle Neune sind Funktionen von x. Die ersten Ableitungen werden – wie üblich - mit Akzenten versehen. Dann ist D´ (x) eine Summe von drei Determinanten U,V,W dritter Ordnung: D´(x) = U + V + W Der erste Zeilenvektor von U und nur dieser enthält die Ableitungen der Elemente der ersten Zeile von D und lautet: {a1´, a2´, a3´}; die beiden andern Zeilenvektoren werden unverändert der Determinante D entnommen. Der zweite Zeilenvektor von V und nur dieser enthält die Ableitungen der Elemente der zweiten Zeile von D und lautet: {b1´, b2´, b3´}; die beiden andern Zeilenvektoren werden unverändert der Determinante D entnommen. Der dritte Zeilenvektor von W und nur dieser enthält die Ableitungen der Elemente der dritten Zeile von D und lautet: {c1´, c2´, c3´}; die beiden andern Zeilenvektoren werden unverändert der Determinante D entnommen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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