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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2910 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 13:39: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 82 soll die Gammafunktion erneut zum Zug kommen, indem der Faden der Ariadne aus der in diesem Forum gestellten Aufgabe über die Berechnung des Integrals der n - ten Potenz von cos x aufgenommen wird. Die Aufgane lautet: Beweise die folgende Integralformel: int [(sin x)^(2p-1) dx] = 2^(2p-1) * [Gamma(p)]^2 / Gamma (2p) Grenzen des Integrals: untere Grenze 0, obere Grenze Pi. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 916 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 15:42: |
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Hi megamath, hier mein Versuch: Wir nehmen die Eulersche Integral 1.Gattung: ò0 1 t^(p-1)*(1-t)^(q-1) dt = B(p,q) Mit Hilfe der Gammafunktion ausgedrückt: B(p,q) = (G(p)*G(q))/(G(p+q)) Nun substituiert man in B(p,q) t = sin(u)^2 ==> 1-t = cos(u)^2 dx = 2*sin(u)*cos(u) du Grenzen: 1 = pi/2 ==> 0 = 0 Ergibt: B(p,q) = 2* ò0 pi/2 sin(u)^(2p-1)*cos(u)^(2q-1) du Setzt man nun p = q und fasst zusammen: B(p,p) = 2* ò0 pi/2 (sin(u)*cos(u))^(2p-1) du Nun ist aber sin(u)*cos(u) = (1/2)*sin(2u) B(p,p) = (1/2)^(2p)* ò0 pi/2 (sin(2u))^(2p-1) du Jetzt substituieren wir 2u=x! du = dx/2 ==> Grenzen: pi/2 = pi ... 0 = 0! B(p,p) = (1/2)^(2p-1)* ò0 pi (sin(x))^(2p-1) dx Jetzt ist aber B(p,p) = G(p)^2 / G(2p) G(p)^2 / G(2p) = (1/2)^(2p-1)* ò0 pi/2 (sin(x))^(2p-1) dx oder 2^(2p-1) * G(p)^2 / G(2p) = ò0 pi (sin(x))^(2p-1) dx q.e.d. Bsp für sin(x)^9 erhält man ratz fatz: ò0 pi sin(x)^9 dx = 256/315 Wenn man da partille Intagrtion benutzt... mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2912 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 18:29: |
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Hi Ferdi, Du bist im Element ! Alles ist ok, meine Gratulation. Es geht bald weiter! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2914 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 19:36: |
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Hi Ferdi Es lassen sich weitere schöne Bespiele anfügen. p braucht nicht ganzzahlig zu sein Das eröffnet neue Perspektiven !* Sei p = 5/2 Ergebnis: ratz fatz = 3/8 * Pi Für p = ½ findet man einerseits ratz fatz = [GAMMA( ½ )] ^ 2 andrerseits elementar: das Resultat Pi Schluss GAMMA [½] = sqrt (Pi), womit dieses Resultat ein weiteres Mal hergeleitet wäre ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 288 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 05:32: |
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Hi Megamath,hi Ferdi, Mir war garnicht bewußt,was die Gammafunktion für Möglichkeiten bietet! Ich habe Beta- und Gammafunktion bisher vernachlässigt (kannte eigentlich nur die Funktionalgleichungen),was offensichtlich ein Fehler war.Naja,das wird nun nachgeholt... Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2916 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 10:02: |
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Hi Olaf, Du findest sehr gute Artikel zur Gammafunktion unter diesem Stichwort in Google. Schon auf der ersten Seite hast Du eine große Auswahl zur Beta- und Gammafunktion. Auf Wunsch kann ich ein paar eigene Arbeiten zu diesem Thema unten anhängen, die ich in guten alten Zeiten verfasst habe. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 290 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 16:56: |
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Hi Megamath, Ich habe bereits mit Google gesucht,außerdem habe ich auch Literatur zu diesem Thema. Ich muß mich halt erstmal etwas einarbeiten. An Deinen Arbeiten bin ich natürlich sehr interessiert! Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2923 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 23:00: |
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Hi Olaf, Hier mein Exkurs, den ich im April 2003 anlässlich eines internen Gammafestes publiziert habe Hi allerseits, Am vierten Jubiläumstag zu Ehren der Gammafunktion soll ein zentraler Satz bewiesen werden. Es ist die von Leonhard Euler aufgestellte Beziehung zwischen seinem Integral erster Gattung oder der Betafunktion B(p,q) und seinem Integral zweiter Gattung, der Gammafunktion G(x). Diese Beziehung lautet B(p,q) = G(p) * G(q) / G(p+q)…………………………………………..® Zum Beweis benötigen wir am Anfang und am Schluss die beiden Hilfssätze Lemma1 und Lemma 2, die wir kürzlich separat hergeleitet haben. Als Beweismethode benütze ich ein bewährtes Verfahren, das in früheren Analysisvorlesungen vor mehr als fünfzig Jahren gang und gäbe war und das sich offenbar bewährt hat. Ich versuche, das Ganze zu rekonstruieren. Wir stellen die Hilfssätze nochmals auf; sie lauten: Lemma 1 B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ] untere Grenze 0, obere Grenze unendlich Lemma 2 G(p) = z ^ p * int [e ^ ( - x z ) * x ^ (p-1) dx ] für beliebige z > 0, untere Grenze 0, obere Grenze unendlich. Beginn des Beweises: Wir setzen in Lemma 2 z = a < 1 und wählen w als Integrationsvariable; damit haben wir: G(p) = a ^ p * int [e ^ ( - a w ) * w ^ (p-1) dw] untere Grenze 0, obere Grenze unendlich. Dies führt auf: 1 / a^p = 1 / G(p) = a ^ p * int [e ^ ( - a w ) * w ^ (p-1) dw] Nun ersetzen wir a durch 1 + x mit x > 0 und p durch p+q; es kommt: 1 / [(1+x)^(p+q)] = 1/G(p+q) * int [e ^ {- (1+x)w}* w^ (p +q -1) dw] Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit x^(p-1) und integrieren von 0 bis x1. Die linke Seite L ist L = int[x^(p-1) / (1+x)^(p+q) dx] in den Grenzen 0 bis x1 > 0. Die rechte Seite R ist ein Doppelintegral: R = 1/G(p+q) * int [dx] int [e ^ {- (1+x)w}* w^ (p +q -1) dw] Zuerst wird in den Grenzen 0 bis x1, dann von 0 bis unendlich integriert. Die Reihenfolge der Integration darf aus guten Gründen vertauscht werden; für R erhalten wir jetzt: R = 1 / G(p+q)* int[e ^(- w) * w^(p+q-1)dw] int[x^(p-1) e ^(- x w) dx]. Zuerst wird in den Grenzen 0 bis unendlich, dann von 0 bis x1 integriert. Lassen wir x1 gegen unendlich gehen, so strebt L gemäß Lemma 1 gegen B(p,q). Aus R wird nach vollzogenem Grenzübergang: 1/ G(p+q) * w^p* int[e ^(-w)*w^(q-1) dw]*int [e^(-xw) x^(p-1) dx] Grenzen 0 bis unendlich bei beiden Integralen. mit Hilfe des zweiten Lemmas erhalten wir schließlich (1/w^p hebt sich weg): R = 1/G(p+q) * G(p) * int[ e^(-w) w^(q-1) dw = 1/G(p+q) * G(p) * G(q) Aus L = R folgt die Behauptung. Danke für die Geduld! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2924 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 06:52: |
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Hi allerseits, Die dritte Jubiläumsaufgabe im Rahmen der Festivitäten für die Gammafunktion lautet so: Ausgehend von der Integraldarstellung für die Betafunktion: B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0) untere Grenze 0, obere Grenze 1 und der Integraldarstellung der Gammafunktion G(p) = int [e ^ (-x) * x^ (p-1) * dx] , (p>0) , untere Grenze 0, obere Grenze unendlich beweise man: Lemma 1 B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ] untere Grenze 0, obere Grenze unendlich Lemma 2 G(p) = z ^ p * int [e ^ ( - x z ) * x ^ (p-1) dx für beliebige z > 0, untere Grenze 0, obere Grenze unendlich. PS Wir benötigen die beiden Hilfssätze beim Beweis der Eulerschen Beziehung B(p,q) = G(p) G(q) / G (p+q). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Hi allerseits, Bei der Herleitung des Lemmas 1 geht es darum, zu zeigen, welche Metamorphose aus der Beziehung B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0) untere Grenze 0, obere Grenze 1 die Relation B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ] untere Grenze 0, obere Grenze unendlich entstehen lässt. Eine mögliche Antwort lautet: man substituiere x = t / (1 + t), daraus entsteht 1 - x = 1 / (1 + t), t = x / (1 – x), dx = 1 / (1 + t) ^2, also B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / [(1+t) ^ (p-1) *(1+t)^(q-1)*(1+t)^2] dt untere Grenze 0, obere Grenze unendlich; vereinfacht: B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt, mit denselben Grenzen, was zu zeigen war. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Hi allerseits, Zur Herleitung des Lemmas 2 schreiben wir die Integralbeziehung für die Gammafunktion G(p) mit u als Integrationsvariable so: G(p) = int [e ^ (-u) * u^ (p-1) * du] , (p>0) , untere Grenze u = 0, obere Grenze u = unendlich. Wir substituieren: u = z x mit konstantem z > 0; mit du = z dx kommt: G(p) = z^p * int [e ^ (- z *x ) * x^ (p-1) * dx] , (p>0) , untere Grenze x = 0, obere Grenze x = unendlich Damit ist Lemma 2 hergeleitet. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Hi allerseits, Erste Anwendungen der beiden Hilfssätze 1 . Man berechnen nochmals G(½). Zur Lösung setzen wir in Lemma 1 p = q = ½, und wir bekommen B(½, ½) = int {1 / [(1+t) sqrt(t) } dt untere Grenze null, obere Grenze unendlich Eine Stammfunktion ist (leicht zu finden) F(t) = 2 arc tan sqrt (t); setzt man die Grenzen ein, so erhält man das erwartetet Resultat B(½, ½) = Pi, daraus ergibt sich G (½ ) = wurzel(Pi). 2: Es soll das uneigentliche Integral J = int [e^(-2x)/sqrt(x) dx ] berechnet werden Die Grenzen sind wiederum 0 und unendlich. Lösung : wir setzen im zweiten Lemma z = 2, p = ½ ein, und das Ergebnis steht - wegen G( ½ ) = sqrt(Pi) – auf dem Präsentierteller da: J = ½ sqrt ( 2 *Pi ). °°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2925 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 07:00: |
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Hi allerseits, Das Festival der Gammafunktion dauert mindestens bis zum 30.April.2003 Daher ist es wohl angebracht, eine weitere Aufgabe zum aktuellen Thema in dieses Forum zu stellen. Sie lautet: Man zeige mit möglichst wenig Rechenaufwand und auf verschiedene Arten: Gamma( ½ ) = sqrt(Pi) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Kenntnisse über die Gammafunktion G(x) dürfen verwendet und müssen nicht neu hergeleitet werden. Viel Vergnügen wünscht H.R.Moser,megamath Hi allerseits, Zu der gestellten Aufgabe „Gammafunktion II“ sind mir spontan drei Lösungen eingefallen, die ich der Reihe nach vorführen möchte: 1. Wir verwenden die für alle p zischen 0 und 1 gültige Beziehung für die Gammafunktion G(x): G(p)*G(1-p) = Pi / sin (p*Pi) und setzen darin p = ½ . Dann ergibt sich die Behauptung unmittelbar. Fortsetzung folgt! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Fortsetzung: 2. In der für die Betafunktion gültigen Relation B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x) ^(q-1)] dx (untere Grenze t = 0, obere Grenze t = 1) setzen wir p = q = ½ ein. Es entsteht wegen B(p,q) = G(p) G(q) / G(p+q) die Beziehung G(½) ^ 2 = int [1 / sqrt (x – x^2) ] dx in den genannten Grenzen. Eine Stammfunktion lautet: arc sin (2x-1) . Setzt man die Grenzen ein, so kommt G( ½) ^ 2 = Pi , was zu zeigen war. Anmerkung Die erwähnte Stammfunktion gewinnt man etwa durch die Substitution 2x – 1 = u, damit : 2 dx = du , x = ½ (u +1) etc. Fortsetzung folgt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Fortsetzung 3. Wir gehen ad fontes, d.h zurück zu den Quellen; ex definitione gilt: G (½) = int [e^(-x) / sqrt(x) ] dx. (mit der unteren Grenze 0, der oberen Grenze unendlich). Mit der Substitution sqrt(x) = u , dx = 2 sqrt(x) du entsteht G (½) = 2 int [e^ (- u^2) ] du in denselben Grenzen Das Ergebnis ist bekannt; für das Integral erhalten wir ½ sqrt(Pi) , q.e.d. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 291 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 16:41: |
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Hi Megamath, Super,vielen Dank! Gruß,Olaf |
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