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Lockere Folge 82 : Integralformel mit...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2910
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 13:39:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 82 soll die Gammafunktion erneut
zum Zug kommen, indem der Faden der Ariadne aus der
in diesem Forum gestellten Aufgabe über die
Berechnung des Integrals der n - ten Potenz von cos x
aufgenommen wird.

Die Aufgane lautet:
Beweise die folgende Integralformel:
int [(sin x)^(2p-1) dx] = 2^(2p-1) * [Gamma(p)]^2 / Gamma (2p)
Grenzen des Integrals: untere Grenze 0, obere Grenze Pi.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 916
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 15:42:   Beitrag drucken

Hi megamath,

hier mein Versuch:

Wir nehmen die Eulersche Integral 1.Gattung:

ò0 1 t^(p-1)*(1-t)^(q-1) dt = B(p,q)

Mit Hilfe der Gammafunktion ausgedrückt:
B(p,q) = (G(p)*G(q))/(G(p+q))

Nun substituiert man in B(p,q)
t = sin(u)^2 ==> 1-t = cos(u)^2
dx = 2*sin(u)*cos(u) du
Grenzen: 1 = pi/2 ==> 0 = 0

Ergibt:

B(p,q) = 2* ò0 pi/2 sin(u)^(2p-1)*cos(u)^(2q-1) du

Setzt man nun p = q und fasst zusammen:

B(p,p) = 2* ò0 pi/2 (sin(u)*cos(u))^(2p-1) du

Nun ist aber sin(u)*cos(u) = (1/2)*sin(2u)

B(p,p) = (1/2)^(2p)* ò0 pi/2 (sin(2u))^(2p-1) du

Jetzt substituieren wir 2u=x!
du = dx/2 ==> Grenzen: pi/2 = pi ... 0 = 0!

B(p,p) = (1/2)^(2p-1)* ò0 pi (sin(x))^(2p-1) dx

Jetzt ist aber
B(p,p) = G(p)^2 / G(2p)

G(p)^2 / G(2p) = (1/2)^(2p-1)* ò0 pi/2 (sin(x))^(2p-1) dx

oder

2^(2p-1) * G(p)^2 / G(2p) = ò0 pi (sin(x))^(2p-1) dx

q.e.d.

Bsp für sin(x)^9 erhält man ratz fatz:
ò0 pi sin(x)^9 dx = 256/315

Wenn man da partille Intagrtion benutzt...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2912
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 18:29:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,


Du bist im Element !
Alles ist ok, meine Gratulation.

Es geht bald weiter!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath

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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2914
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 19:36:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Es lassen sich weitere schöne Bespiele anfügen.
p braucht nicht ganzzahlig zu sein
Das eröffnet neue Perspektiven !*

Sei p = 5/2
Ergebnis: ratz fatz = 3/8 * Pi

Für p = ½ findet man einerseits
ratz fatz = [GAMMA( ½ )] ^ 2
andrerseits elementar: das Resultat Pi
Schluss
GAMMA [½] = sqrt (Pi), womit dieses Resultat ein
weiteres Mal hergeleitet wäre !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 288
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 05:32:   Beitrag drucken

Hi Megamath,hi Ferdi,

Mir war garnicht bewußt,was die Gammafunktion für Möglichkeiten bietet!
Ich habe Beta- und Gammafunktion bisher vernachlässigt (kannte eigentlich nur die
Funktionalgleichungen),was offensichtlich ein Fehler war.Naja,das wird nun nachgeholt...


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2916
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 10:02:   Beitrag drucken

Hi Olaf,



Du findest sehr gute Artikel zur Gammafunktion unter diesem Stichwort
in Google.
Schon auf der ersten Seite hast Du eine große Auswahl zur
Beta- und Gammafunktion.
Auf Wunsch kann ich ein paar eigene Arbeiten zu diesem Thema unten
anhängen, die ich in guten alten Zeiten verfasst habe.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 290
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 16:56:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ich habe bereits mit Google gesucht,außerdem habe ich auch Literatur zu diesem Thema.
Ich muß mich halt erstmal etwas einarbeiten.
An Deinen Arbeiten bin ich natürlich sehr interessiert!


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2923
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 23:00:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Hier mein Exkurs, den ich im April 2003 anlässlich
eines internen Gammafestes publiziert habe

Hi allerseits,

Am vierten Jubiläumstag zu Ehren der Gammafunktion
soll ein zentraler Satz bewiesen werden.
Es ist die von Leonhard Euler aufgestellte Beziehung
zwischen seinem Integral erster Gattung oder der Betafunktion
B(p,q) und seinem Integral zweiter Gattung, der Gammafunktion G(x).
Diese Beziehung lautet
B(p,q) = G(p) * G(q) / G(p+q)…………………………………………..®

Zum Beweis benötigen wir am Anfang und am Schluss die beiden
Hilfssätze Lemma1 und Lemma 2, die wir kürzlich separat hergeleitet
haben.

Als Beweismethode benütze ich ein bewährtes Verfahren, das in
früheren Analysisvorlesungen vor mehr als fünfzig Jahren
gang und gäbe war und das sich offenbar bewährt hat.
Ich versuche, das Ganze zu rekonstruieren.

Wir stellen die Hilfssätze nochmals auf; sie lauten:

Lemma 1
B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich

Lemma 2
G(p) = z ^ p * int [e ^ ( - x z ) * x ^ (p-1) dx ]
für beliebige z > 0,
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.

Beginn des Beweises:
Wir setzen in Lemma 2
z = a < 1 und wählen w als Integrationsvariable;
damit haben wir:

G(p) = a ^ p * int [e ^ ( - a w ) * w ^ (p-1) dw]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Dies führt auf:
1 / a^p = 1 / G(p) = a ^ p * int [e ^ ( - a w ) * w ^ (p-1) dw]
Nun ersetzen wir a durch 1 + x mit x > 0 und p durch p+q; es kommt:

1 / [(1+x)^(p+q)] = 1/G(p+q) * int [e ^ {- (1+x)w}* w^ (p +q -1) dw]
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit x^(p-1) und integrieren
von 0 bis x1.
Die linke Seite L ist
L = int[x^(p-1) / (1+x)^(p+q) dx] in den Grenzen 0 bis x1 > 0.

Die rechte Seite R ist ein Doppelintegral:
R = 1/G(p+q) * int [dx] int [e ^ {- (1+x)w}* w^ (p +q -1) dw]
Zuerst wird in den Grenzen 0 bis x1, dann von 0 bis unendlich
integriert.

Die Reihenfolge der Integration darf aus guten Gründen
vertauscht werden; für R erhalten wir jetzt:
R = 1 / G(p+q)* int[e ^(- w) * w^(p+q-1)dw] int[x^(p-1) e ^(- x w) dx].
Zuerst wird in den Grenzen 0 bis unendlich, dann von 0 bis x1
integriert.

Lassen wir x1 gegen unendlich gehen, so strebt L gemäß
Lemma 1 gegen B(p,q).

Aus R wird nach vollzogenem Grenzübergang:
1/ G(p+q) * w^p* int[e ^(-w)*w^(q-1) dw]*int [e^(-xw) x^(p-1) dx]
Grenzen 0 bis unendlich bei beiden Integralen.

mit Hilfe des zweiten Lemmas erhalten wir schließlich
(1/w^p hebt sich weg):


R = 1/G(p+q) * G(p) * int[ e^(-w) w^(q-1) dw =
1/G(p+q) * G(p) * G(q)

Aus L = R folgt die Behauptung.

Danke für die Geduld!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2924
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 06:52:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die dritte Jubiläumsaufgabe im Rahmen der Festivitäten
für die Gammafunktion lautet so:

Ausgehend von der Integraldarstellung für die Betafunktion:
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0, obere Grenze 1
und der Integraldarstellung der Gammafunktion
G(p) = int [e ^ (-x) * x^ (p-1) * dx] , (p>0) ,
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
beweise man:

Lemma 1
B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich

Lemma 2
G(p) = z ^ p * int [e ^ ( - x z ) * x ^ (p-1) dx
für beliebige z > 0,
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.

PS
Wir benötigen die beiden Hilfssätze beim Beweis der
Eulerschen Beziehung B(p,q) = G(p) G(q) / G (p+q).

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Hi allerseits,

Bei der Herleitung des Lemmas 1 geht es darum,
zu zeigen, welche Metamorphose aus der Beziehung

B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0, obere Grenze 1

die Relation
B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich

entstehen lässt.

Eine mögliche Antwort lautet:
man substituiere x = t / (1 + t),
daraus entsteht 1 - x = 1 / (1 + t), t = x / (1 – x),
dx = 1 / (1 + t) ^2, also

B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / [(1+t) ^ (p-1) *(1+t)^(q-1)*(1+t)^2] dt
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich; vereinfacht:
B(p,q) = int [ t ^ (p-1) / (1+t) ^ (p+q) dt,
mit denselben Grenzen,
was zu zeigen war.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath




Hi allerseits,

Zur Herleitung des Lemmas 2 schreiben wir die Integralbeziehung
für die Gammafunktion G(p) mit u als Integrationsvariable so:
G(p) = int [e ^ (-u) * u^ (p-1) * du] , (p>0) ,
untere Grenze u = 0, obere Grenze u = unendlich.
Wir substituieren:
u = z x mit konstantem z > 0; mit du = z dx kommt:

G(p) = z^p * int [e ^ (- z *x ) * x^ (p-1) * dx] , (p>0) ,
untere Grenze x = 0, obere Grenze x = unendlich

Damit ist Lemma 2 hergeleitet.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



Hi allerseits,

Erste Anwendungen der beiden Hilfssätze

1 .
Man berechnen nochmals G(½).
Zur Lösung setzen wir in Lemma 1 p = q = ½,
und wir bekommen
B(½, ½) = int {1 / [(1+t) sqrt(t) } dt
untere Grenze null, obere Grenze unendlich
Eine Stammfunktion ist (leicht zu finden)
F(t) = 2 arc tan sqrt (t); setzt man die Grenzen ein,
so erhält man das erwartetet Resultat
B(½, ½) = Pi, daraus ergibt sich G (½ ) = wurzel(Pi).

2:
Es soll das uneigentliche Integral
J = int [e^(-2x)/sqrt(x) dx ] berechnet werden
Die Grenzen sind wiederum 0 und unendlich.
Lösung : wir setzen im zweiten Lemma z = 2,
p = ½ ein, und das Ergebnis steht
- wegen G( ½ ) = sqrt(Pi) –
auf dem Präsentierteller da:
J = ½ sqrt ( 2 *Pi ).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.


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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2925
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 07:00:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Das Festival der Gammafunktion dauert
mindestens bis zum 30.April.2003

Daher ist es wohl angebracht, eine weitere
Aufgabe zum aktuellen Thema in dieses Forum
zu stellen. Sie lautet:
Man zeige mit möglichst wenig Rechenaufwand
und auf verschiedene Arten:
Gamma( ½ ) = sqrt(Pi)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Kenntnisse über die Gammafunktion G(x) dürfen
verwendet und müssen nicht neu hergeleitet werden.

Viel Vergnügen wünscht
H.R.Moser,megamath


Hi allerseits,

Zu der gestellten Aufgabe „Gammafunktion II“
sind mir spontan drei Lösungen eingefallen,
die ich der Reihe nach vorführen möchte:

1.
Wir verwenden die für alle p zischen 0 und 1
gültige Beziehung für die Gammafunktion
G(x):
G(p)*G(1-p) = Pi / sin (p*Pi) und setzen
darin p = ½ .
Dann ergibt sich die Behauptung unmittelbar.

Fortsetzung folgt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Fortsetzung:

2.
In der für die Betafunktion gültigen Relation
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x) ^(q-1)] dx
(untere Grenze t = 0, obere Grenze t = 1)
setzen wir p = q = ½ ein.
Es entsteht wegen
B(p,q) = G(p) G(q) / G(p+q)
die Beziehung
G(½) ^ 2 = int [1 / sqrt (x – x^2) ] dx
in den genannten Grenzen.
Eine Stammfunktion lautet: arc sin (2x-1) .
Setzt man die Grenzen ein, so kommt
G( ½) ^ 2 = Pi , was zu zeigen war.

Anmerkung
Die erwähnte Stammfunktion gewinnt man etwa
durch die Substitution
2x – 1 = u, damit : 2 dx = du , x = ½ (u +1) etc.

Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Fortsetzung

3.
Wir gehen ad fontes, d.h zurück zu den Quellen;
ex definitione gilt:
G (½) = int [e^(-x) / sqrt(x) ] dx.
(mit der unteren Grenze 0, der oberen Grenze unendlich).
Mit der Substitution sqrt(x) = u , dx = 2 sqrt(x) du
entsteht
G (½) = 2 int [e^ (- u^2) ] du in denselben Grenzen
Das Ergebnis ist bekannt; für das Integral erhalten wir
½ sqrt(Pi) , q.e.d.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath






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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 291
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 16:41:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Super,vielen Dank!


Gruß,Olaf

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