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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2913
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 19:18: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 83 kommt wieder die Gammafunktion zu Ehren.
Die Aufgabe lautet:
a)
Drücke das bestimmte Integral
int [ dt / {( sin t ) ^ 1/3} ] mit Hilfe von GAMMA (1/3) aus.
untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi.
Hinweis: Benütze das Ergebnis aus Aufgabe LF 82.
b)
Berechne mit Hilfe des Ergebnisses aus Teilaufgabe a)
den Wert des elliptischen Integrals
el = int [ dz / sqrt (1 – z^3) ]
untere Grenze 0, obere Grenze 1.
Hinweis: Substituiere z ^ 3 = (sin t) ^ 2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 917
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 20:41: |
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Hi,
zum Ausklang des Wochenendes :
a)
Man setze in LF82 p=1/3
I = 2^(-1/3) * G(1/3)^2 / G(2/3)
Nun gilt nach Euler:
G(1/3) * G (2/3) = 2 * pi / sqrt(3) (a)
Also:
G (2/3) = (2 * pi) / (sqrt(3) * G(1/3))
Einsetzen liefert:
I = (G(1/3)^3 * sqrt(3) * 2^(-1/3)) / (2* pi)
Wegen der Grezen in LF 82 sieht man aber das dies 2*I ist, also folgt insgesamt:
I = (G(1/3)^3 * sqrt(3) * 2^(-1/3)) / (4 * pi)
b)
Warum einfach wenns auch schwer geht?? 
z^3 = t ==> dz = 1/3 t^(-2/3) dt
==>
(1/3) * ò0 1 (1-t)^(-1/2) * t^(-2/3) dt
und das ist gleich (1/3) * B((1/2),(1/3)) also
(G(1/2) * G(1/3)) / G(5/6)
G(5/6) ist nach Legendre und (a) :
(sqrt(pi)* 2pi * 2^(1/3)) / (sqrt(3) * G(1/3)^2)
Einsetzen und erstmal vereinfach liefert schliesslich:
el = G(1/3)^3 / (pi * sqrt(3) * 2^(4/3))
Bis nächstes Wochenende
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 918
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 20:49: |
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Hallo nochmal,
mit der von megamath angegeben Substitution kommt man ebefalls zum Ziel, zwar etwas rechenintensiver (wie ich finde) dafür aber ohne Legendre...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2915
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 21:04: |
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Hi Ferdi
Alles stimmt,bravo!
Ich wünsche eine gute Woche.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2917
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 12:14: |
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Hi Ferdi,
Es ist stets von einigem Interesse, wenn die Lösung
des Aufgabenstellers präsentiert wird.
Dies sei hier nachgeholt.
Zu a)
Sei JJ = int [ dt / {( sin t ) ^ 1/3} ]
untere Grenze 0, obere Grenze Pi
(achte auf die obere Grenze!).
Gemäss Aufgabe LF 82 mit p = 1/3 lautet das Ergebnis
JJ = 2^(-1/3) * [GAMMA(1/3)]^2 / GAMMA(2/3)
Wegen der Beziehung
GAMMA (1-p) * GAMMA (p) = Pi / sin (p*Pi)
kommt
GAMMA (2/3) = 2 Pi / [ sqrt(3) * GAMMA(1/3) ]
Setz man dies bei JJ ein, so ist man am Ziel;
der gesuchte Wert des gegebenen Integrals ist
½ JJ .
Dies entspricht im Wesentlichen Deiner Lösung.
Zu b)
Die Substitution z ^ 3 = { sin (t) } ^ 2
bietet keinerlei Schwierigkeiten und verlangt keine grossen Taten.
Zunächst kommt 3 z^2 dz = 2 sin t cos t dt
1 - z^3 = (cos t) ^2
Dies alles führt das Integral el sofort
auf das Integral, das unter a) berechnet wurde
zurück.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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