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funktionsschar

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Abitur » Analysis » funktionsschar « Zurück Vor »

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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 505
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 15:45:   Beitrag drucken

hallo,
wie untersuche ich diese funktion
f(x) = e^x+e^(-x)-2
auf monotonie?
a)welche ganzrationale funktion g 2.ordnung stimmt für x0=0 sowohl im funktionswert als auch in den ersten beiden ableitungen mit f überein?

heißt das taylorreihe entwickeln?
b)die normale in einem beliebigen(vom ursprung verschiedenen) punkt P(u/v) des schaubildes von f schneide die y-achse in S(0/c). gegen welchen grenzwert strebt S, wenn P sich dem ursprung nähert?

detlef
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1290
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 19:26:   Beitrag drucken

Hi Detlef,

das ist keine Funktionsschar- jedenfalls fehlt mir der freie Parameter.

ansonsten versuch mal eienen Ansatz selbst.
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 507
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 19:45:   Beitrag drucken

die allgemeine tangentengleichung aufstellen und dann die steigung der normalen bestimmen durch neg. kehrwert?

ist a) richtig?

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2694
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 08:29:   Beitrag drucken

a)
keine T.reihe nötig nur eben u=f(x0),v=f'(x0),w=f''(x0) für x0=0
und
dann eben h(x) = a*x^2 + b*x + c so bestimmen daß

h(0) = u, h'(0) = v, h''(0) = w gilt

b)
die Ableitung für x=p, die Normalengleichung für n(p,x) für (p,f(p))
und den Wert n(p,0); dafür dann den (Grenz)Wert für p -> 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 509
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 10:30:   Beitrag drucken

also diese kurzschreibweise versteh ich bei b) nicht!
sag mir mal die vorgehensweise bitte!

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2695
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 11:24:   Beitrag drucken

f' = e^x - e^(-x)
Normale im Punkt x=p:
n(p,x) = f(p) - (x-p)/f'(p) = e^p + e^(-p) - 2 - (x-p)/[e^p - e^(-p)]

Schnitt mit yAchse: x=0

n(p,0) = e^p + e^(-p) - 2 + p/[e^p - e^(-p)]
nun
den Grenzwert für p -> 0 bestimmen
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 510
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 11:27:   Beitrag drucken

wie hast du denn die normale bestimmt?

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2696
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 11:38:   Beitrag drucken

Punkt-Richtungsform
die Steigung der Normalen im Punkt (p, f(p))
ist -1/f'(p)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 511
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 12:04:   Beitrag drucken

ja, das verstehe ich, aber wie kommste dann auf
f(p) - (x-p)/f'(p)

?

detlef
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1292
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 12:48:   Beitrag drucken

Hi Detlef,

die Punkt-Richtungsform einer Geraden lautet ja

y-f(p)=m*(x-p)

wobei m die Steigung ist und P(p|f(p))

Nun gilt hier ja für die Steigung der Normalen

m=-1/f'(p)

das liegt daran das Normale und Tangente aufeinander senkrecht (orthogonal) stehen müssen.

Und 2 Graden sind senkrecht (Orthogonal)
wenn für das Produkt ihrer Steigungen -1 ist.

Das ist eine Konsequenz aus der Formel für den Schnittwinkel zwischen 2 Geraden. (Senkrecht=Schnittwinkel 90°)

Gruß N.
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 512
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 11:13:   Beitrag drucken

also dann strebt doch P auch gegen 0 oder nicht?

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2703
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 11:32:   Beitrag drucken

nein,
den Teil ep+e-p-2 kann man natürlich
für p -> 0 gleich als 0 weglassen
aber
limp->0 p/(ep-e-p) ist eine "0/0" Form
auf
die einmal L'Hospital angewendet werden muß.
Das ist dann der Grenzwert.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 513
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 12:22:   Beitrag drucken

HMM also dann

1/e^p+e^(-p) ??

eine 0/0 Form??

kann man den grenzwert auch ohne l'hospital ausrechnen?

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2704
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 12:36:   Beitrag drucken

das 1/(e^p + e^(-p) bitte Klammern!
ist
keine "0/0" Form
---------------
ohne L'Hospital? Na ja,
die Reihenentwicklung von e^p und e^(-p) einsetzen
und den Bruch durch p Kürzen
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 514
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 13:43:   Beitrag drucken

hä? hast du doch geschrieben!
also ist das der grenzwert, den ich im letzten post geschrieben habe?

detlef
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Niels2 (Niels2)
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 15:03:   Beitrag drucken

HI Detlef,

ne, setze doch mal in der Formel

1/(e^p + e^(-p)

p=0 ein.

Dann steht da

1/(e^0+ e^(-0))=1/(1+1)=1/2

nun alles klar?
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Niels2 (Niels2)
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 15:06:   Beitrag drucken

also das "ne" bei mir bezieht sich auf 0/0

du hast schon l'hospital angewannt.
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2705
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 15:14:   Beitrag drucken

gesucht ist der Grenzwert von
p/(ep-e-p) für p -> 0; was eine "0/0 Form" ist.
einmal L'Hospital ergibt
1/(ep+e-p)
das ist KEINE "0/0" Form sonder ergibt für p = 0
den Grenzwert 1/2
mit
Einsetzen der Reihenentwicklung
wäre
p/(ep-e-p)
=
p
/
(1 + p + p²/2! + p³/3! + ...
-1 + p - p²/2! + p³/3! - ...
)
= p/(2p + 2p³/3! + ...), gekürzt durch p
= 1/(2 + 2p³/3! + ... )
also
für p = 0 zu 1/(2 + 0 + 0 ...) = 1/2
1/2
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Detlef01 (Detlef01)
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:05:   Beitrag drucken

jo..ok!

vielen dank!

detlef

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