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3 Exponentialgleichungen lösen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Funktionen » Exponential-/ln-Funktion » 3 Exponentialgleichungen lösen « Zurück Vor »

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Fredd2 (Fredd2)
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Neues Mitglied
Benutzername: Fredd2

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 20:57:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe versucht folgende drei Gleichungen zu lösen, bin dabei aber kläglich gescheitert. Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann und mir den Lösungsweg zeigen kann.

erste Gleichung:
5^(3x+1) - 5^(3x-1) = 48

zweite Gleichung:
e^x = 1 + e^(-x)

dritte Gleichung:
5^x = 3 * 2^(Wurzel aus x)

Danke schon im Voraus

Fredd
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Dull (Dull)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull

Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 21:38:   Beitrag drucken

Moin Fredd,

zumindest bei den ersten beiden Gleichungen kann ich dir auf die Schnelle helfen:

5^(3x+1) - 5^(3x-1) = 48
<=> 5^(3x)*(5-1/5)=48
<=> 5^(3*x)=10
<=> 3x=ln(10)/ln(5)
<=> x=0,4769...

sei u:=e^x
e^x = 1 + e^(-x)
<=> u=1+1/u |*u
<=> u^-u-1=0
<=> u1= 1/2 + wurzel(5)/2
oder u2=1/2 - wurzel(5)/2

Da du diese Aufgabe in dem Schulforum gestellt hast, wir dir eine Lösung der Gleichung e^x=1/2 - wurzel(5)/2 wohl nicht bekannt sein. Darum sit für dich nur die Lösung von e^x=1/2 + wurzel(5)/2
<=> x=ln(1/2+wurzel(5)/2) interessant.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

DULL
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 713
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 22:41:   Beitrag drucken

3.

sqrt = Quadratwurzel

5^x = 3 * 2^sqrt(x) logarithmieren ->
x*ln5 = ln3 + sqrt(x)*ln2

Setze nun sqrt(x) = u

(ln5)*u² - (ln2)*u - ln3 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung, die nach u aufgelöst werden kann ->

u1,2 = [ln2 +/- sqrt(ln²2 + 4*ln5*ln3]/(2*ln5)

Danach ergibt sich x = u² ...

Gr
mYthos
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Ajo_silent (Ajo_silent)
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Junior Mitglied
Benutzername: Ajo_silent

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 09:02:   Beitrag drucken

Mythos2002 hat einen kleinen Fehler gemacht: die gleichung (ln5)*u²-(ln2)*u-ln3=0 muss noch durch ln5 geteilt werden, um die quadratische Lösungsformel anzuwenden...
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 714
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 00:20:   Beitrag drucken

Nein, mein lieber @Ajo.., hier irrst du, denn wenn du genau hinsiehst, wirst du bemerken, dass ich
1. die große Lösungsformel (a,b,c) angewandt habe, die aber
2. das gleiche Ergebnis bringt, wie die p,q - Formel!

Rechne es mal nach!

P.S.: Die von mir angewandte Formel ist für die Gleichung

ax² + bx + c = 0

x1,2 = [-b +/- sqrt(b² - 4ac)]/(2a)

Wenn du vorher durch a dividierst, kommt

x² + (b/a)x + (c/a) = 0 und mit der p,q - Formel dann

x1,2 = -b/(2a) +/- sqrt[b²/(4a²) - (c/a)]
->
1/(2a) ausklammern, in der Wurzel auf 4a² erweitern, aus dem Nenner 4a² die Wurzel = 2a
->
x1,2 = [-b +/- sqrt(b² - 4ac)]/(2a)

Gr
mYthos
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Ajo_silent (Ajo_silent)
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Neues Mitglied
Benutzername: Ajo_silent

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 08:58:   Beitrag drucken

OK - ich nehme alles zurück. das ist mir nicht aufgefallen

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