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Dreiecksaufgabe 57: Transversalen im ...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2654
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 18:33:   Beitrag drucken

Hi allerseits,20.09.19:33

Die Dreiecksaufgabe 57 ist in einem ganz bestimmten Sinn
eine Repetitionsaufgabe.
Sie lautet:
In einem Dreieck ABC teilt S die Seite AB im Verhältnis
3 : 1, U die Seite BC im Verhältnis 4 : 1 und V die Seite CA
im Verhältnis 1:12.
Schneiden sich die Transversalen AU, BV,CS
in einem Punk Z?
Zur Beantwortung dieser Frage sollen - wenn möglich-
verschiedene Methoden angewendet werden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2665
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 09:00:   Beitrag drucken

Hi allerseits,22.09.10:00

Betrifft: Dreiecksaufgabe 57.
ich bin bass erstaunt, dass für diese Standardaufgabe noch
keine Lösung eingetroffen ist.
Da es viele Lösungsmethoden gibt, hätte man zugreifen sollen!
Es schadet aber nichts, wenn ich hier eine Lösung präsentiere,
die nicht nahe liegend, dafür umso lehrreicher ist.

Wir arbeiten ausnahmsweise mit einem schiefen
Koordinatensystem:
Die x-Achse liegt auf der Geraden AB (diese Richtung),
die y-Achse liegt auf der Geraden AC (diese Richtung),
A ist der Nullpunkt des Systems.
Auch in einem solchen Koordinatensystem haben Gerade
lineare Gleichungen, in unserem Fall gilt:

Koordinaten von Punkten:
A(0/0),B(4/0),C(0/13),S(3/0),V(0/12),U(0,8 /10,4)

Geradenglaichungen:
BV : 3 x + y = 12
CS : 13 x + 3 y = 39.
AU : 13 x – y = 0

Um den geforderten Nachweis zu erbringen, dass sich diese
Geraden in einem einzigen Punkt Z schneiden, brauchen wir die
Koordinaten von Z nicht zu berechnen, wenn wir das Geradenbüschel
heranziehen, welche durch die Geraden BV und CS bestimmt wird.

Die Gleichung dieses Büschel lautet (mit t als Parameter):
3 x + y - 12 + t (13 x + 3 y - 39 ) = 0, geordnet:
( 3 +13 t ) x + ( 1 + 3 t ) y - (12 + 39 t ) = 0
Soll diese Gleichung die dritte Gerade AU darstellen, so muss
(12 + 39 t ) = 0, also t = - 4/13 gelten.
Die Koeffizienten von x und y werden dann der Reihe nach
-1 und 1/13, wie es sein muss, denn eine Gleichung von AU
lautet auch:
-13 x + y = 0 oder
- x + 1/13 y = 0.
Damit ist dieser Beweis erfolgreich erbracht.

Ich erwarte weitere Lösungsvorschläge, noch besser
komplette Lösungen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Kläusle (Kläusle)
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Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 485
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 10:54:   Beitrag drucken

Hallo

Habe sehr wenig Zeit, daher "nur" ein Lösungsvorschlag:

Geschlossener Vektorzug bzw.-kette

Damit sollte die Aufgabe lösbar sein.


MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2667
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 12:05:   Beitrag drucken

Hi Kläusle,22.09.13:05

Deine Idee ist gut ,sie führt auch zum Ziel.
Danke für Deinen Beitrag.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 251
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 19:31:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Mein Vorschlag: Satz von Ceva

AS/SB*BU/UC*CV/VA=1

Ich übernehme Koordinatensystem und Punkte...

AS=3

SB=1

BU=10.881

UC=2.27

CV=1

VA=12

Es ergibt sich also:

3/1*10.881/2.72*1/12=1

=> wahr

=> Die Geraden schneiden sich in einem Punkt!


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2670
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 20:37:   Beitrag drucken

Hi Olaf,22.09.2137

Bravo!

Auf das habe ich gewartet; ich habe erwartet,
dass jemand diese Methode anwendet.
Z erscheint so als Ceva – Punkt und ist damit öffentlich gemacht.
Kennst Du den Satz explizit?

Die Aufgabe ist damit erschöpfend behandelt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 252
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 05:18:   Beitrag drucken

Mi Megamath,

Mir ist nicht klar,was Du -auf diesen Satz bezogen- mit "explizit" meinst.

Mir ist bekannt:

(Ich verwende P statt S,Q statt U und R statt V.)

Satz von Ceva
-------------
Die Transversalen schneiden sich genau dann in einem Punkt oder sind alle parallel,wenn
gilt:

AP/PB*BQ/QC*CR/RA=1


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2672
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 06:23:   Beitrag drucken

Hi Olaf,23.05.07:23

ich meinte "explizit" im Sinn von "ausdrücklich",also ob
Du diesen Satz im Wortlaut kennst;
das ist offensichtlich der Fall.
>>Alles ok!

MfG
H.R.Moser,megaamath

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