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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2697
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 15:19: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 58 soll ein Beweis geführt werden.
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dessen
Katheten CA = b und CB = a verschiedene Längen haben.
Der Inkreis des Dreiecks berührt die Hypotenuse im Punkt G.
Y ist der Schnittpunkt der Geraden CG mit der
Mittelsenkrechten mm der Hypotenuse AB.
Beweise:
Der Abstand des Punktes Y von der Hypotenuse stimmt
mit dem halben Umfang des Dreiecks überein.
a)
Beweise den Satz rechnerisch mit den Mitteln der
analytischen Geometrie.
Lege das Dreieck in ein cartesisches Koordinatensystem.
Ecke C im Ursprung, Ecke A auf der x-Achse: A(b/0)
Ecke B auf der y-Achse : B(0/a).
b)
fakultativ
Beweise den Satz mit Hilfe planimetrischer Sätze.
Benütze dazu den Umkreis des Dreiecks.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 901
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 19:47: |
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Hi,
erster Bericht von meiner Baustelle  !
Zunächst der Inkreismittelpunkt I(m|y) und der Inkreisradius r. Diesen zu finden könnte auch eine Aufgabe des Apollonius sein, ich glaube sein achtes Problem...
Abkürzungen: a+b+c = u
Nichts desto trotz:
I ( (ab)/u | (ab)/u )
r = (ab)/u
Dann kann mann die Koordinaten von G berechnen indem man von I das Lot auf AB fällt!
Ergebniss:
G ( [(c+a)*(ab)/(uc)] | [(c+b)*(ab)/(uc)] )
Damit kann man schon mal die Gerade CG aufstellen!
y = {(c+b) / (c+a)} * x
So morgen geht es weiter! Habe jetzt Feierabend!
mfg
PS: Fakultativ muss jemand anders machen, da ich da leider nicht weiß wiue ich anfangen soll, da ich kaum Sätze aus der Planimetrie kenne... |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2699
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 13:09: |
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Hi Ferdi,
Bravo !
ich habe Deine Berechnungen überprüft und als
richtig erkannt; diesmal ist kein begrabener Hund
auszumachen.
Du kannst mit den Zwischenresultaten zum Endergebnis
vorstoßen.
Der Satz ist verblüffend in seiner Aussage und wenig
bekannt.
Ich habe ihn bei meinen Akten beim Aufräumen entdeckt;
der Satz selber stammt nicht von mir!
Über einen rein geometrischen Beweis werde ich später
berichten. Die benötigten Sätze sind elementar.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 905
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 13:42: |
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Hi megamath,
du überraschst mich immer wieder. Wer weiß was für Aufgaben noch in deinem Schreibtisch schlummern...
Der Rest des Beweises, damit die Baustelle abgeräumt werden kann:
Die Mittelsenkrechte durch AB hat die Gleichung:
y = (b/a) * x + (a^2-b^2)/2a
Jetzt setzt man diese und die Gerade durch CG gleich:
{(c+b) / (c+a)} * x = (b/a) * x + (a^2-b^2)/2a
Und erhält nach kurzer Rechnung Y:
( (a+b)*(c+a)/2c | (a+b)*(c+b)/2c )
Dies setzt man nun in die Hesse Form der Geraden durch A und B ein:
( ax + by - ab )/sqrt( a^2 + b^2 ) = 0
Wegen rechtwinklig, gilt Phytagoras:
( ax + by - ab ) / c = 0
Hier für x und y die Koordinaten von Y einsetzen und ein wenig umformen und ausklammern liefert mir schlieslich:
d(Y,g(AB)) = (a+b+c)/2
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2701
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 19:08: |
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Hi Ferdi,
damit ist der erste Teil dieser Aufgabe zu einem glücklichen
Abschluss gebracht.
Der zweite Teil soll später bearbeitet werden.
H.R.Moser,megamath
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