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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2654 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 18:33: |
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Hi allerseits,20.09.19:33 Die Dreiecksaufgabe 57 ist in einem ganz bestimmten Sinn eine Repetitionsaufgabe. Sie lautet: In einem Dreieck ABC teilt S die Seite AB im Verhältnis 3 : 1, U die Seite BC im Verhältnis 4 : 1 und V die Seite CA im Verhältnis 1:12. Schneiden sich die Transversalen AU, BV,CS in einem Punk Z? Zur Beantwortung dieser Frage sollen - wenn möglich- verschiedene Methoden angewendet werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2665 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 09:00: |
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Hi allerseits,22.09.10:00 Betrifft: Dreiecksaufgabe 57. ich bin bass erstaunt, dass für diese Standardaufgabe noch keine Lösung eingetroffen ist. Da es viele Lösungsmethoden gibt, hätte man zugreifen sollen! Es schadet aber nichts, wenn ich hier eine Lösung präsentiere, die nicht nahe liegend, dafür umso lehrreicher ist. Wir arbeiten ausnahmsweise mit einem schiefen Koordinatensystem: Die x-Achse liegt auf der Geraden AB (diese Richtung), die y-Achse liegt auf der Geraden AC (diese Richtung), A ist der Nullpunkt des Systems. Auch in einem solchen Koordinatensystem haben Gerade lineare Gleichungen, in unserem Fall gilt: Koordinaten von Punkten: A(0/0),B(4/0),C(0/13),S(3/0),V(0/12),U(0,8 /10,4) Geradenglaichungen: BV : 3 x + y = 12 CS : 13 x + 3 y = 39. AU : 13 x – y = 0 Um den geforderten Nachweis zu erbringen, dass sich diese Geraden in einem einzigen Punkt Z schneiden, brauchen wir die Koordinaten von Z nicht zu berechnen, wenn wir das Geradenbüschel heranziehen, welche durch die Geraden BV und CS bestimmt wird. Die Gleichung dieses Büschel lautet (mit t als Parameter): 3 x + y - 12 + t (13 x + 3 y - 39 ) = 0, geordnet: ( 3 +13 t ) x + ( 1 + 3 t ) y - (12 + 39 t ) = 0 Soll diese Gleichung die dritte Gerade AU darstellen, so muss (12 + 39 t ) = 0, also t = - 4/13 gelten. Die Koeffizienten von x und y werden dann der Reihe nach -1 und 1/13, wie es sein muss, denn eine Gleichung von AU lautet auch: -13 x + y = 0 oder - x + 1/13 y = 0. Damit ist dieser Beweis erfolgreich erbracht. Ich erwarte weitere Lösungsvorschläge, noch besser komplette Lösungen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 485 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 10:54: |
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Hallo Habe sehr wenig Zeit, daher "nur" ein Lösungsvorschlag: Geschlossener Vektorzug bzw.-kette Damit sollte die Aufgabe lösbar sein.
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2667 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 12:05: |
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Hi Kläusle,22.09.13:05 Deine Idee ist gut ,sie führt auch zum Ziel. Danke für Deinen Beitrag. MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 251 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 19:31: |
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Hi Megamath, Mein Vorschlag: Satz von Ceva AS/SB*BU/UC*CV/VA=1 Ich übernehme Koordinatensystem und Punkte... AS=3 SB=1 BU=10.881 UC=2.27 CV=1 VA=12 Es ergibt sich also: 3/1*10.881/2.72*1/12=1 => wahr => Die Geraden schneiden sich in einem Punkt! Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2670 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 20:37: |
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Hi Olaf,22.09.2137 Bravo! Auf das habe ich gewartet; ich habe erwartet, dass jemand diese Methode anwendet. Z erscheint so als Ceva – Punkt und ist damit öffentlich gemacht. Kennst Du den Satz explizit? Die Aufgabe ist damit erschöpfend behandelt! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 252 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 05:18: |
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Mi Megamath, Mir ist nicht klar,was Du -auf diesen Satz bezogen- mit "explizit" meinst. Mir ist bekannt: (Ich verwende P statt S,Q statt U und R statt V.) Satz von Ceva ------------- Die Transversalen schneiden sich genau dann in einem Punkt oder sind alle parallel,wenn gilt: AP/PB*BQ/QC*CR/RA=1 Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2672 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 06:23: |
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Hi Olaf,23.05.07:23 ich meinte "explizit" im Sinn von "ausdrücklich",also ob Du diesen Satz im Wortlaut kennst; das ist offensichtlich der Fall. >>Alles ok! MfG H.R.Moser,megaamath
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